Se pensarmos nos ingredientes estruturais da música

Contraponto musical e transformações geométricas

"Acho-o de tal maneira um compositor tão flexível, tem uma estrutura tão sólida que tudo se torna muito flexível; tudo é possível mudar ali."

Maria João Pires

Se pensarmos nos ingredientes estruturais da música, conseguimos distinguir o ritmo, a melodia e a harmonia. Os três devem integrar-se de forma coerente funcionando bem para alguma música clássica, mas perdendo o sentido quando se trata da polifonia, género musical que se desenvolveu sobretudo na Renascença, pois não existe uma voz principal, mas um entrançado de vozes em que cada uma delas desempenha um papel de idêntica importância. As várias vozes sobrepõem-se de forma a respeitar as leis da harmonia, onde são respeitados ulteriores vínculos de parentesco, segundo uma aprimorada arte canónica a que se chama contraponto e onde há vozes que se procedem em paralelo, outras que seguem a curta distância, outras ainda que se aproximam ou distanciam simetricamente do centro do palco.

Apesar da evolução típica dos gostos musicais não favorecer a apreciação do contraponto, Bach é um exemplo de como os detalhes contrapontísticos sobressaem sobre os demais ingredientes musicais.

Algumas práticas contrapontisticas tornam-se completamente transparentes se se tem a coragem de utilizar para a sua descrição a linguagem e os conceitos matemáticos. A intuição visual que se exercita na geometria, em particular, pode ser colocada ao serviço da compreensão musical com resultados excelentes.

Vejamos então alguns aspectos estruturais dos cânones de Bach, mas para isso vamos precisar introduzir alguns dados matemáticos.

Consideremos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais Oxy e tomemos as seguintes famílias de transformações geométricas, que representam funções de duas variáveis:

1- Translações horizontais .............................. t_a: x ® a+x , y ® y

Translações verticais .................................. v_b : x ® x , y ® b+y

2- Reflexões horizontais ( = lago ) .................. l_d: x ® x , y ® d-y

3- Reflexões verticais (= muro ) ................... m_c : x ® c-x , y ® y

4- Meias voltas ( simetrias pontuais ) ............. g_c,d : x ® c-x , y ® d-y

Aqui o símbolo j : x ® x’ , y ® y’ significa que a função j transforma o ponto genérico (x,y) no ponto (x’,y’), consequentemente também um conjunto de pontos é transformado noutro conjunto de pontos.

As simetrias axiais l_d e m_cchamam-se também reflexões porque transformam as figuras com se fosse num espelho.

Todas as funções acima descritas conservam:

1- a distância ou seja, são isometrias: dois pontos que tenham uma certa distância um do outro são transformados em pontos que mantêm ainda aquela distância;

2- as duas direcções dos eixos no sentido de uma recta horizontal (respect. vertical) ser transformada numa recta horizontal (respect. vertical).

Consequentemente, as distâncias e as direcções dos eixos são conservadas também pelas funções que se obtêm compondo duas das funções citadas. Compor duas funções j e y significa agir primeiro com uma e depois com a outra que, por sua vez, age sobre o efeito da primeira. A transformação composta chama-se também o produto das duas, indicando-se com o símbolo yoj. Por exemplo o produto de duas translações t_aov_b : x ® a+x , y ® b+y, é uma translação obliqua ( tudo se desloca segundo o vector (a,b); o produto de uma reflexão-muro com uma reflexão-lago é a meia volta em torno do ponto em que os 2 eixos das simetrias se encontram : l_dom_c= g_c,d.

Todas estas funções, e os respectivos produtos, formam o que na álgebra se chama um grupo de transformações, a que chamaremos grupo musical. Como exemplo, vejamos como elas agem sobre as letras do alfabeto: t : R ® R, l : A ® ", m : E ® $, g : N ® N.

Vejamos ainda o efeito das 4 transformações sobre a palavra WIZ, onde figura respectivamente uma translação, uma reflexão-lago, uma reflexão-muro e uma meia volta:

Visualização de uma melodia

Sons e ruídos, são apenas perturbações da pressão de ar captadas pelo ouvido humano. Se os quisermos distinguir diremos que num som musical a perturbação é uma oscilação regular, tem um andamento sinusoidal, à qual se pode atribuir uma certa frequência. Uma melodia é a sucessão destes sons que se sucedem sem interrupções. Podemos então representar grosseiramente uma melodia como uma função f(t) em que a frequência f depende do tempo t.

Dada a constância temporária da frequência, trata-se de uma função em escada, cujo gráfico é uma linha quebrada com traçados horizontais e verticais. Assim, podemos representar o gráfico de uma melodia sobre uma quadrícula inteira, se sobrepusermos essa linha quebrada às linhas do papel quadriculado. Desta forma substituímos com estes gráficos as habituais pautas onde o uso da clave não é mais do que a escolha da origem sobre o eixo dos y’s.

Translações horizontais

A melodia “Fra Martino campanaro”, conhecida como “Frère Jacques”, é composta por quatro frases, cada uma delas repetida duas vezes.

A popularidade desta melodia deve-se à prática de lhe sobrepor infinitas cópias, obtidas como translações horizontais. Eis o esquema das sobreposições:

AABBCCDDAABBCCDDAABBCCDD...

Terminada a melodia cada voz recomeça do início criando uma polifonia cíclica interminável, onde é impossível distinguir o papel de cada voz, a que se dá o nome de cânone perpétuo a 4 vozes. O facto de Fra Martino usar apenas translações horizontais classifica-o como cânone em uníssono, porque todas as vozes se iniciam com o mesmo som.

Translações verticais e oblíquas

Em geral a sobreposição de duas melodias obtidas uma a partir da outra mediante uma translação vertical, v_bnão é naturalmente bem aceite.

J.S.Bach na sua imensa produção nunca deixou de brincar com a música. Nalguns casos a brincadeira é genial e inspirada em profundos sentimentos, mas noutros esta apresenta-se como requintada e engenhosa. É inútil, por exemplo, procurar uma profunda inspiração na composição BWV 1073 (BWV são as iniciais de Bach-Werke Verzeichnis, isto é, Catálogo das obras de Bach), um cânone à quinta, a quatro vozes, onde a mesma escrita é lida pelas quatro vozes referindo-se a quatro diferentes origens no eixo dos y’s (translações verticais). Aqui a segunda voz faz de eco à primeira, mas deslocada para os tons altos e atrasada no tempo, repetindo-se o mesmo esquema para a terceira e quarta voz utilizando assim três translações oblíquas.

A representação gráfica de cada voz e do efeito do conjunto é retractada no seguinte figura:

Reflexões-lago

Reconhecer que um tema sofreu uma translação, é relativamente fácil, bem mais difícil é reconhecer um tema invertido, isto é que sofreu uma reflexão-lago. Submetamos a melodia Fra Martino à reflexão l₄. Se o original começava em dó-ré-mi-dó, a melodia reflectida começará por exemplo com mi-ré-dó-mi, como elucida a figura:

O reconhecimento do parentesco com a melodia inicial é muito facilitado pela estrutura rítmica, ou seja duração das notas, que é a mesma. Isto é se se prescinde da altura dos sons, a mensagem rítmica das duas melodias é idêntica.

O uso das reflexões-lago nas composições de Bach é bastante frequente: sonatas, partitas, invenções, suites... todas contêm, sob forma mais ou menos evidente translações e reflexões-lago. De uma maneira geral, as translações oblíquas constituem a base do género musical que dominou toda a história da música, a fuga. A fuga nasce assim de um tema inicial, que primeiramente é submetido a várias translações e em seguida elaborado com maior liberdade, liberdade esta que em Bach compreende habitualmente reflexões-lago .

Reflexões-muro

Reflectir uma melodia num espelho vertical é um pouco como ler uma frase da direita para a esquerda, pronunciando cada palavra com as letras por ordem inversa. Contudo, enquanto um texto verbal perde o sentido, uma simples melodia em sentido inverso tem algum significado musical, apesar de ser praticamente impossível, ao ouvir, associá-la ao tema inicial.

Submetendo Fra Martino a esta prova, obtêm-se uma melodia vagamente marcial que não lembra minimamente o original.

Outras transformações

Aplicando à melodia original, Fra Martino, a meia volta, obtemos um tema que produz um efeito marcial (devido à reflexão-muro, que altera o ritmo) e simultaneamente triste (devido ao modo menor, efeito da reflexão-lago).

Continuando de forma análoga, nasce também naturalmente um novo cânone perpétuo.