"Geometria euclideana", surge devido a ter sido Euclides o primeiro matemático a dedicar-se a organização dos conhecimentos de geometria no plano e no espaço. Neste trabalho vamos abranger uma parte dessa geometria euclideana.

Vamos começar por falar de ponto, recta e plano.

Ponto:

    Um ponto não tem dimensão e é representado por uma pinta e é identificado com uma letra maiúscula.

Recta:

    Uma recta é constituída por uma infinidade de pontos .Uma recta tem dimensão um. É representada por um "traço" e é identificada por uma letra minúscula.

    O Axioma 1, da geometria Euclideana diz-nos que "dois pontos definem uma recta", isto é, dados dois pontos há uma e uma só recta que os contém.

Plano:

    Um plano é representado por um paralelogramo e normalmente é identificado por uma letra do alfabeto grego. Um plano tem dimensão dois.

    Sabendo que três pontos dizem-se colineares se e só se uma recta incidente aos três pontos, vamos ver como Euclides definiu um plano. O Axioma 2, da geometria de Euclides, diz-nos que “três pontos definem um plano”. E podemos observar isso, na reperesentação de um plano a definidos pelos pontos A, B, e C diferentes e não são colineares.

    Existem outras formas de definir um plano, sob a forma de teoremas deduzidos a partir dos axiomas de Euclides:

"uma recta e um ponto exterior a essa recta definem um plano".

"duas rectas concorrentes definem um plano".

"duas rectas paralelas definem um plano".

Posição relativa de rectas e pontos:

    Três pontos são colineares se e só se existir uma recta que passe pelos tres pontos. Deve ter-se em conta que dizer "uma recta passa por um ponto" é o mesmo que dizer que esse ponto pertence a recta. Se um ponto não pertencer a recta, ou se a recta não passar por esse ponto, diz-se que esse ponto é exterior a recta. Por qualquer ponto passa infinitas rectas.

Posições relativas de rectas num plano 

    Para relacionarmos uma recta com um plano podemos imaginar na forma como duas palhinhas podem-se posicionar sobre uma mesa. Tendo em conta este exemplo vamos verificar que num plano duas rectas podem ter um e um só destes casos:

1. Duas rectas dizem-se concorrentes, se tiverem um e um único ponto em comum.

  Se as duas rectas concorrentes formam um ângulo de 90° dizemos então que elas são  perpendiculares e a sua intersecção dá um único ponto.

Senão as duas rectas concorrentes dizem-se oblíquas e a intersecção das rectas também dá um único ponto.

2. Duas rectas também podem ser paralelas e dividem-se em dois grupos.

Duas rectas quaisquer, r e s, dizem-se estritamente paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum. Também podemos dizer que essas duas rectas estão contidas num plano.

  Se as duas rectas têm uma infinidade de pontos em comum, as rectas dizem-se paralelas em sentido lato ou coincidentes.

Posições relativas de rectas a planos no espaço

Se a recta e o plano têm, um e um só ponto em comum, dizemos que a recta e o plano são secantes e a intersecção de ambos dá o ponto de intersecção da recta com o plano.

Se a recta é secante ao plano e é perpendicular a todas as rectas contidas nesse plano, então a recta é perpendicular a esse plano.

O critério de perpendicularidade de recta e plano, foi demonstrado por Euclides. Este teorema diz-nos que  "se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano então ela é perpendicular ao plano".

Se a recta  têm mais do que um ponto em comum com o plano então, pelo axioma 3, dizemos que a recta está contida nesse plano. Dizemos também que a recta e o plano que a contem são paralelos em sentido lato e a intersecção de ambos dá a recta.

Se a recta e o plano não têm nenhum ponto em comum dizemos que a recta e o plano são paralelos em sentido lato e a intersecção é vazia.

O Critério de Paralelismo de Recta e Plano, foi demonstrado por Euclides, que nos diz que “se uma recta é paralela a uma recta contida num plano, então é paralela a esse plano”.

Posições relativas de dois planos no espaço

    O Axioma 4 diz nos que "a intersecção de dois planos concorrentes é uma recta". Dizemos então que 2 planos são concorrentes quando tenham uma e uma só recta em comum. Ainda em relação a planos concorrentes podemos dizer que eles são perpendiculares ou obliquos, consoante o ângulo que formam entre si:

Se dois planos quaisquer a , b concorrentes, dizem –se perpendiculares se formarem entre si um angulo de 90º, isto é, se existir em cada um deles uma recta perpendicular ao outro. A intersecção desses planos dá uma recta.

O Critério de Perpendicularidade de Dois Planos, foi demonstrado por Euclides, e o teorema diz-nos “se um plano contém uma recta perpendicular a outro, então dois planos são perpendiculares”.

Dois planos concorrentes dizem-se oblíquos, e a sua intersecção dá uma recta .

    Se os dois planos não são concorrentes dizemos que são paralelos e dividem-se em dois casos:

Se dois planos tiverem mais do que uma recta em comum dizem-se coincidentes ou paralelos em sentido lato.

Se não existir nenhum ponto em comum aos dois planos, e a intersecção de ambos for nula, dizemos então que os dois planos sao estritamente paralelos.

Critério de Paralelismo de Dois Planos,foi demonstrado por Euclides,que nos diz que "se um plano contém duas rectas concorrentes a outro plano então os dois planos são paralelos ".

De seguida estão alguns resultados demonstrados por Euclides, que estão associados aos critérios de perpendicularidade e de paralelismo, enunciados anteriomente:

Teorema 1: Dois planos distintos paralelos a um terceiro, são estritamente   paralelos entre si.

Este teorema, garante a transitividade da relação de paralelismo.

Teorema 2: Se dois planos são perpendiculares à mesma recta, então são paralelos.

Teorema 3: Um plano corta planos paralelos segundo rectas paralelas.

Posições relativas de rectas no espaço

No espaço duas rectas podem ser complanares ou não complanares.

Se duas rectas estão contidas num mesmo plano, dizem-se complanares.

Se não existe nenhum plano que contenha as duas rectas, dizemos que estas são não complanares.

Duas rectas r e snão complanaressão:

 Perpendiculares se r for perpendicular a duas rectas secantes complanares a s.

Senão são oblíquas.

Projecção ortogonal de um ponto sobre uma recta e sobre um plano

    Sendo s uma recta e B um ponto não pertencente a essa recta. Por B passa uma e uma só recta perpendicular a s que a intersecte. Ao ponto A, ponto de intersecção dessa recta com s, chamamos projecção ortogonal de B sobre s.    

  Seja ß um plano e B um ponto não pertencente a esse plano. Existe uma e uma só recta que passa pelo ponto B e é perpendicular ao plano ß. Como B não pertence ao plano ß então está contida em ß. Ao ponto A de intersecção de s com ß chamamos projecção ortogonal de B sobre ß.

Plano mediador

Diz-se plano mediador do segmento [AB] ao plano que contém o ponto médio deste segmento.