Conta a lenda que Pitágoras, ao olhar para o chão onde apareciam desenhos verificou, por composição e decomposição de figuras, uma propriedade de todos os triângulos rectângulos:

    A área de um quadrado construído sobre a hipotenusa (lado oposto ao ângulo recto) de um triângulo rectângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (os outros dois lados).

   Desta relação surgiu o Teorema de Pitágoras tal como o conhecemos hoje:

   Actualmente, são conhecidas várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.               

   Aquela que se pensa ter sido a demonstração original (ou uma delas) é a seguinte:

    Temos dois quadrados iguais de lado a+b.

    Todos os triângulos rectângulos marcados em ambos os quadrados são iguais (a e b são os seus catetos e c a hipotenusa).

    O primeiro quadrado é formado por quatro triângulos e por um quadrado de lado c, pelo que a sua área é

c² + 4(ab/2) = c² + 2ab.

   O segundo quadrado é formado por dois quadrados de lados a e b e por quatro triângulos. Logo, a sua área é dada por

a² + b² + 4(ab/2) = a² + b² + 2ab.

   Igualando ambas as expressões, temos

c² + 2ab = a² + b² + 2ab

ou seja, a² + b² = c².

Para ver outras demonstrações do teorema de Pitágoras:

http://criar.no.sapo.pt/provas.htm

http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm