UM POUCO DE HISTÓRIA

 

    Era uma vez...

    É assim que começa a história de um número que só será chamado Pi no século XVIII, inicia-se com o estudo da relação que existe entre o comprimento  da curva mais simples que se conhece, o círculo, e o seu diâmetro .

    O estudo desta relação preocupou os babilónios à 4000 mil anos, e uma tabela cuneiforme da época propôs  sem explicação e sem notação algébrica a fórmula

 que é equivalente a

.

    É o primeiro cálculo de π com uma casa decimal exacta.

    Um pouco mais tarde, em 1800 a.C. o célebre Papiro Rhind mostrava que para uma circunferência de diâmetro  a área é dada por:

o que quer dizer 

    Não se sabe como os egípcios chegaram a esta fórmula, no entanto encontrámos uma explicação plausível :

    se circunscrito numa circunferência, tivermos um quadrado de lado , dividido em nove quadrados iguais por trissecção dos lados e se consideramos um octógono irregular obtido deixando cair a metade dos pequenos quadrados situados nos quatro cantos, obtemos uma figura um pouco diferente da circunferência de área igual a:

    Por outro lado, ,  e o quadrado mais próximo de 

 é .

 

    Em consequência, a área do octógono, e

por isso, a da circunferência é aproximadamente igual a

 

    Ele fez entender à civilização Grega que fórmulas   mais ou menos empíricas se transformam em grandes demonstrações. 

    "Os elementos de Euclides” que datam três séculos a.C., apresentam, como sendo simples consequência das propriedades dos triângulos semelhantes que:

  o perímetro de dois polígonos regulares de lado igual, inscritos ou circunscritos a dois círculos, são entre eles como a relação dos diâmetros dos círculos, enquanto as áreas correspondentes são entre elas como a relação dos quadrados.

    Por outro lado, todos os polígonos regulares circunscritos a um círculo de diâmetro , em que , através desta relação determina-se a outra.

    Portanto, para obter, por exemplo, a relação entre o comprimento de um círculo e seu diâmetro, os cientistas gregos enquadravam os círculos entre os polígonos regulares, inscritos e circunscritos.

    Arquimedes, no século II a.C., é o primeiro a descobrir um método efectivo da aproximação da relação, é de notar que este não dispunha de números de notação algébrica nem trigonométrica.

    O "papel" desempenhado pelos árabes durante o desenvolvimento e a transmissão do saber grego iniciou-se em 1429 por  Al Kashi. Este matemático é o primeiro a dar a π mais de dez casas decimais exactas, obteve dezasseis: 

para o fazer, utilizou o Método de Arquimedes com  (o mesmo que ). Ainda assim, estes decimais são difíceis de fixar, na maior parte das línguas, foram criadas mnemónicas usando palavras.

    Durante alguns anos, um belga foi detentor do maior número de casas decimais. Este, em 1593 obteve dezassete casas decimais a partir de um polígono de  lados. Tal feito, foi ultrapassado por um alemão que obteve 32 casas decimais, e fez questão que as gravassem  no seu túmulo.

    Os tempos modernos desenvolveram as notações e o cálculo algébrico, nesta altura, já não é espantoso que o francês Francois Viète, o fundador da álgebra, traduzisse em 1593 o Método de Arquimedes numa fórmula algébrica para π : 

    O inglês John  Wallis, em 1655, validou a fórmula:

    Imediatamente, surge em 1657 pelo seu compatriota Lord Brouncker 

    
    Mas, estas fórmulas não aceleraram o cálculo dos decimais de  π, em relação ao Método de Arquimedes.

    É uma arte, para os matemáticos indianos, obterem a formula seguinte, do século XIV ao século XV :

    Em 1671 o matemático escocês James Gregory descobriu uma solução elegante para o cálculo "do arco cuja tangente é..." 

o que viria a radicalizar o cálculo de π.

    Três anos mais tarde, o alemão Gotffried Wilhelm Leibniz descobriu a mesma série do arco tangente e publicou-a conjuntamente com um caso particular importante:

 dando o valor 1 para a variável na função, pode-se aproximar facilmente para

    simplicidade e elegância da fórmula, esta não era boa para o cálculo dos dígitos de π. Eram necessários 300 termos da série para se obter apenas dois dígitos decimais do π.

    Em 1665, Newton refugiou-se em Woolsthorpe em consequência da peste que devastava Londres, neste período, Newton realizou muitos trabalhos e descobriu duas séries infinitas para  π.

    O cálculo infinitesimal e a série do arco tangente possibilitaram aos matemáticos, a realização de cálculos muito mais rápidos. 

    A procura de algarismos do π sofreu um grande avanço no fim do século XVII. 

    Em 1699, o inglês Abraham Sharp descobriu 72 dígitos, com a série do arco tangente de Gregory Leibniz.

    Em 1706, desta vez, por parte do astrónomo inglês John Machin  surge:

    (1)

Machin recorreu a alguma trigonometria para elaborar a seguinte demonstração, considerou:

 

    Em consequência, surgiu:

    Calculou cada termo do segundo membro de (1) a partir da fórmula:

(a convergência é muito rápida pois 1 é substituído por  e por ).

    Machin foi o primeiro a calcular π com mais de 100 casas decimais. 

    Em 1706, Willian Jones publicou "A New Introduction to Mathematics", onde utilizou a letra π para designar, desta vez, a relação entre a circunferência e o seu diâmetro.

    Leonhard Euler (1707-1783) é considerado por alguns historiadores das ciências, como o maior matemático de todos os tempos. 

    Euler, descobriu muitas séries infinitas e fórmulas com o arco tangente para calcular π, incluindo um método que utilizava o arco tangente e que convergia muito mais rapidamente do que a série de Gregory.

    Depois dos grandes passos realizados por Euler, o século XIX parece muito disperso no que diz respeito ao progresso de métodos para o cálculo de π.

    No início do século XX, apareceu outro matemático com um novo conjunto de equações para o problema. No entanto, os adeptos de cálculos de dígitos continuaram a trabalhar arduamente utilizando os métodos anteriores para encontrar ainda mais dígitos.

    Em 1837, J. F. Callet publicou 152 dígitos.

    Posteriormente, em 1841 Rutheford usou:

para conseguir 208 algarismos.

    Seis anos mais tarde, Thomas Clausen utilizou as fórmulas de Machin e uma de Euler e calculou 248 dígitos.

    Em 1853, Rutherford obteve o seu recorde pessoal com 440 dígitos, tendo sido batido por William Shanks com 607 algarismos, no mesmo ano.

    Em 1873  Shanks calcula 707 dígitos de π, mas na 527ª casa ocorreu um engano e os algarismos seguintes estavam todos errados.

    Durante 72 anos, o seu erro foi desconhecido. A descoberta deve-se a D. F. Ferguson em 1945.

    Em 1947 o seu recorde ia em 808 dígitos de  π. 

    Levi Smith e John Wrench responsabilizaram-se em verificar o trabalho de Ferguson e para isso utilizaram a fórmula de Machin. 

    Em 1948 Smith e Wrench calcularam o milésimo dígito de π.

    No ano seguinte, a história da Matemática e da investigação de π avançou em grande escala em consequência da velocidade da calculadora. 

    Em 1949 um computador ENIAC, fabricado nos EUA, foi utilizado por George Reitwiesner, John Von Newmann e N. C. Metropolis para calcular 2037 algarismos do π.

    Já em 1954, através do computador  NORC são atingidos os 3089 dígitos de π.

    Em Paris, os cientistas prosseguiam o cálculo de dígitos e alcançaram 10000 dígitos, tudo isto, numa hora e quarenta minutos.

  Passados três anos, John Wrench e Daniel Shanks utilizaram um IBM 7090 e determinaram 100265 algarismos de π, com uma média de três dígitos por segundo.

    Enquanto que os computadores se tornavam mais rápidos, os matemáticos calculavam o π para testar a velocidade. O auge desta competição ocorreu em 1973 quando Jean Guilloud e M. Bouyer descobriram o milionésimo dígito de π.

    Em 1982 Yoshiaki Tamura e Yasumasa Kanada, no Japão, calcularam π com 8388608 (223) dígitos.

    Passados dez anos, Jonathan e Peter Borwein e David e Gregory Chudnovsky, permitiram o cálculo de π mais rapidamente.

    Podemos concluir, que o conhecimento de um número cada vez maior de dígitos de π, não demonstra grande utilidade, apenas provoca o surgimento de um novo computador. 

 

 

Pi

Voltar ao índice