Números de Fermat

    Pierre de Fermat conjecturou, em 1640, que todos os exemplos de base 2 eram números primos. 

Assim, os números da forma                         

_{F(n) = 2}2ⁿ _{+ 1}

são hoje em dia chamados números de Fermat. De facto, Fermat sabia que

F(0) = 2¹ + 1 =  3

F(1) = 2² + 1 =  5

 F(2) = 2⁴ + 1 = 17

    F(3) = 2⁸ + 1 = 257

         F(4) = 2¹⁶ + 1 = 65537

eram todos primos, mas em 1732 Euler descobriu que o número de Fermat que se segue é composto, isto é, são números inteiros positivos que podem expressar-se como produtos de números mais pequenos:

F(5) = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 x 6700417

    Entre 1643 e 1654, Fermat dedicou-se ao estudo da teoria dos números, interesse que lhe surgiu após ter lido o livro Aritmética de Diofanto (matemático grego, 200a.c.) e alguns dos problemas propostos por Fermat, nesta área, eram tão difíceis que somente muitos anos mais tarde foram provados. Um desses problemas, afirmava que "todo o número inteiro pode ser escrito como a soma de no máximo quatro quadrados" e foi provado em 1770, pelo matemático francês Lagrange. Entretanto, o seu resultado mais famoso resistiu por mais de 300 anos e inspirou a publicação, em 1996, do "best seller" O Último Teorema de Fermat. Este teorema diz que "se n é um número natural maior que 2, não existem números inteiros x, y e z que satisfaçam a equação xⁿ + yⁿ = zⁿ ".

    (Repare que no caso n = 2, o teorema é satisfeito por todos os ternos pitagóricos, isto é, por inteiros que satisfaçam o Teorema de Pitágoras). Exemplo: (x,y,z) = (3,4,5) ou (5,12,13).

    Embora, anteriormente esta afirmação tenha sido provada para alguns valores particulares de n, nunca se conseguiu provar se os conhecimentos de Fermat foram ou não verdadeiros.

    No entanto, as tentativas feitas ao longo dos anos para provar que a afirmação de Fermat é verdadeira, deram lugar a investigações na teoria dos números, mas, mesmo assim, nunca foi encontrada nos escritos de Fermat a demonstração feita por este.

    Fermat escreveu na margem de um livro que pertencia a Bachet, a tradução "aritmética" de Diofanto, "dividir um número ao quadrado em dois outros quadrados", sendo esta nota só conhecida em 1670 após a sua morte, quando o seu filho Samuel se dedicou a coleccionar os escritos do pai, publicando-os depois.

    Fermat escreveu também que: "dividir um cubo em dois outros cubos, uma quarta potência, ou em geral, qualquer potência em duas potências do mesmo expoente, acima da segunda é impossível, e eu encontrei uma prova admirável disto, mas a margem é muito estreita para a escrever". Em 1654, voltou a manter correspondência com matemáticos de Paris.

    Em 23 de Junho de 1993, o matemático Andrew Wiles parece ter encontrado em Cambridge uma demostração para a afirmação de Fermat. A partir daí, começaram a aparecer notícias, em todos os meios de comunicação, por exemplo, na revista de 5 de Julho de 1993, aparece Mathematics; Fini to Fermat; Last Theorem.

    No entanto, com o surgir dos problemas, este afirmou que afinal a sua demonstração não estava correcta. Em 1994, Wiles afirmou novamente ter chegado à afirmação correcta, que foi definitivamente aceite naquela altura.