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No século XIII os povos europeus ainda usavam a numeração romana nos seus cálculos e contagens.

Fibonacci foi quem mais contribuiu na transição para o sistema indo-árabe que ainda hoje utilizamos.

Na obra "Líber Abaci", na qual Fibonacci explica como usar a numeração árabe e como efectuar cálculos com ela, surgem alguns problemas, um dos quais é o célebre "O problema dos coelhos".

Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber, quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.

Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês, existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos + um par de recém nascido.

No início do terceiro mês, o par adulto terá produzido novamente mais um par,

enquanto que o par recém nascido terá completado um mês de vida e ainda não estará apto a reproduzir-se. Assim, no início do terceiro mês, existirão três pares de coelhos, sendo: um par adulto + um par com um mês de idade + um par recém nascido.

No início do quarto mês, existirão dois pares adultos, sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou um mês, logo teremos cinco pares: dois pares adultos + um par com um mês + dois pares recém nascidos.

Tal processo, continua através dos diversos meses até completar um ano. Obtém-se a seguinte sequência de números, a qual conta o número de pares de coelhos existentes ao longo de cada um dos meses desse ano:

Esta sequência, também chamada de sequência de Fibonacci constrói-se de uma forma extremamente simples: cada número, exceptuando evidentemente os dois primeiros termos, é composto pela adição dos dois números precedentes.

Se denotarmos a sequência u=(u_n) com u_n representando o número de pares de coelhos ao final do mês n, poderemos escrever:

_{que
é uma propriedade recursiva, isto é, que cada termo pode ser obtido em
função dos termos anteriores. No final do mês doze, o número de pares de
coelhos deverá ser 144.}

Os números de Fibonacci também são encontrados em arranjos de folhas (Filotaxia).

Consideremos que existe um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de três folhas consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos cinco folhas e duas voltas. Cada volta é entendida como uma rotação de 360º para que uma folha possa se sobrepôr à outra. Para que isto ocorra, cada ângulo deverá ser igual a (2x360º)/5 = 144º.

Podemos identificar o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha sobrepondo-se à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p = 2 e m = 5. Numerosas experiências com plantas mostraram que p e m assumem mais frequentemente valores como 1,2,3,5,8,13,..., que são os números da sequência de Fibonacci. Existem também excepções, mas os números de Fibonacci ocorrem tão frequentemente que não podem ser explicados como casuais. Os biólogos tentaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na Filotaxia.

Olhando para o arranjo das flores do girassol, estas parecem formar dois sistemas de espirais, irradiando do centro para fora. Embora o arranjo pareça simétrico, de facto, o número de espirais no sentido directo e no sentido inverso não é igual. Se pudéssemos contar, ver-se-iam 55 espirais no sentido dos ponteiros do relógio e 34 no sentido contrário.

Juntando dois quadrados unitários (lado=1), teremos um rectângulo 2x1, sendo que o comprimento 2 é igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. De novo anexamos outro quadrado com L=2 (o maior dos lados do rectângulo anterior) e teremos um rectângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos rectângulos obtidos antes. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

Com um compasso, trace um quarto de circunferência no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. Tendo em atenção o desenho, trace quartos de circunferências nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.