Números poligonais

 

 

 

 

   Os pitagóricos desejavam compreender a natureza íntima dos números, estes elaboraram os números figurados que são números expressos como reunião de pontos numa determinada configuração geométrica, isto é, a quantidade de pontos representa um número, e estes são agrupados de formas geométricas sugestivas. De todos os números figurados, os mais estudados têm sido os números poligonais  - triangulares, quadrangulares, pentagonais e hexagonais.

 

  Números Triangulares

 

   Os primeiros Números Triangulares são:

 

 

  

 

T(1) = 1 T(2) = 3 T(3) = 6

 

   Se as bolas começarem a rolar, podemos arranjar duas ripas formando um ângulo de 60º, na forma de um funil. Agora, basta ir colocando camadas de bolas no funil:

 

         

                 T(1) = 1

T(2) = T(1) + 2 =  3

T(3) = T(2) + 3 =  6

T(4) = T(3) + 4 = 10

 ...

 

 

Fórmula Recursiva

T(1) = 1

T(n+1) = T(n) + (n+1)

Fórmula Iterativa

 

T(n) = 1 + 2 + 3 +...+ n

 

Teorema T1:

2 x T(n) = n (n+1)
 

Por exemplo:

2 x T(4) = 2 x (1+2+3+4) = 4 x 5

 

  

Uma Demonstração:

       n +  1       = n + 1

(n - 1) + 2       = n + 1

(n - 2) + 3       = n + 1

     ....

      2 + (n - 1) = n + 1

      1 +  n        = n + 1

           ___________

             n x  (n + 1)

Assim obtemos, uma Fórmula Fechada para o cálculo do Número Triangular de ordem n:

 T(n) = n(n+1)/2.

 

 

Teorema T2:

 T(n) + T(n + 1) = (n + 1)2

 

Por exemplo:

T(4) + T(5) =

= (1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) = 5 x 5

  

Uma Demonstração:

       n +  1         = n + 1

(n - 1) + 2        = n + 1

(n - 2) + 3        = n + 1

                 ...

        2 + (n - 1) = n + 1

        1 + n         = n + 1

        0 + (n + 1) = n + 1

         ________________

           (n + 1) x (n + 1) =

           = (n + 1)2          

 

 

  Números Quadrados

   Os primeiros números quadrados são:

 

Q(1)=12 = 1

Q(2) = 22 = 4

 Q(3) = 32 = 9 Q(4) = 42 = 16

 

A melhor definição para os Números Quadrados é a própria Fórmula Fechada:

Q(n) = n2 .  

 

Para passar de um dado quadrado de lados iguais a n, ao quadrado seguinte (n + 1)2 , precisamos de juntar duas filas de comprimento n e mais uma unidade para o canto. Ou seja:

Q(n+1) = Q(n) + n + n + 1

 

Q(1) = 1                                                  = 12   

Q(2) = Q(1)   + 3        = 1+3                     = 22

Q(3) = Q(2)   + 5        = 1+3+5                 = 32

Q(4) = Q(3)   + 7        = 1+3+5+7             = 42

...

Q(n) = Q(n-1) + (2n-1) = 1+3+5+...+ (2n-1)  = n2

 

 

Fórmula Recursiva

Q(1) = 1

Q(n+1) = Q(n) + (2n+1)

Fórmula Iterativa

 

Q(n) = 1 + 3 + 5 +...+ (2n-1)

 

 

                    Teorema Q1:

           T(n) + T(n + 1) = Q(n + 1)

           Este é o nosso conhecido Teorema T2.

 

 

 

Teorema Q2:

Se T for um Número Triangular, então 8T + 1 é um Número Quadrado

Por exemplo:

 

8 x = 4 x

4 x

Uma Demonstração:

Tomemos os 8 triângulos T(n) dados.

Pelo Teorema T1 podemos juntá-los aos pares, obtendo rectângulos, 

8T(n) = 4(2T(n)) = 4(n(n+1))

Mas, 4(n(n+1)) = 4n2 + 4n

o que representa 4 quadrados mais 4 colunas.

Combinando 4 quadrados com 4 colunas e mais uma unidade, temos então:          

4n2 + 4n + 1 = (2n+1)2 

isto é, 8T(n) + 1 = Q(2n+1) 

 

 

Números Pentagonais

 

A unidade é o primeiro Número Pentagonal, assim como foi o primeiro Número Triangular e o primeiro Número Quadrado, assim como vai ser o primeiro de "quase" tudo o que aqui se irá passar.

 

P(1) = 1

O segundo Número Pentagonal é naturalmente o menor número de bolas com que podemos formar um pentágono, ou seja, P(2) = 5.

Para construir P(2) a partir de P(1) juntamos 4 bolas.

 

P(2) = 5
A partir do canto inferior esquerdo, vamos acrescentando bolas, de modo a formar um novo pentágono de lados iguais a três.

O total obtido é o terceiro Número Pentagonal, P(3) = 12.

Verificamos que P(3) = P(2) + 7 e que, desta vez, não vai ser possível preencher os espaços interiores com uma distribuição regular de bolas.

P (3) = 12

 

P(5) = P(4) + (3x5-2) =

= 22 + 13 = 35

Para passar do Número Pentagonal de ordem n ao seguinte, P(n+1), precisamos de juntar três lados de comprimento igual a n+1, não esquecendo de descontar as duas sobreposições nos cantos, isto é, P(n+1) = P(n) + 3(n+1) - 2 =

= P(n) + 3n + 1    

 

 

P(1) = 1                                                  =  1   

P(2) = P(1)  +   4 = 1 + 4                        =  5

P(3) = P(2)  +   7 = 1 + 4 + 7                 = 12

P(4) = P(3)  +  10 = 1 + 4+ 7 + 10          = 22

P(5) = P(4)  +  13 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35

                             ...

P(n) = P(n-1) + (3n-2)   

 

 

Fórmula Recursiva

P(1) = 1

P(n+1) = P(n) + (3n+1)

Fórmula Iterativa

 

P(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n-2)

 

Teorema P1: 

 P(n) = 3T(n-1) + n

 

 

              Por exemplo:

 

Uma Demonstração:

 

Tomemos os três triângulos

T(n-1) dados, na sua forma iterativa:

3(1 + 2 + 3 + 4 +...+ (n-1)) =

= 3 + 6 + 9 + 12 +...+ (3n-3)

Juntando a estas (n-1) parcelas, uma a uma, os n elementos dados:

1 + 4 + 7 + 10 +...+(3n-2)

obtemos precisamente a forma iterativa de P(n)

 

Com este resultado, escrevendo os Números Triangulares na sua Fórmula Fechada,

P(n) = 3T(n-1) + n = 3(n-1)n/2 + n

é fácil obter a Fórmula Fechada dos Números Pentagonais:

P(n) = (n/2) (3n-1)

 

Teorema P2:

3P(n) = T(3n-1)

Um exemplo:

 

 

 

 

 

 

 

9T(4) + 3 x 5 = T(14)

Uma Demonstração:

Em termos puramente algébricos, este facto é consequência imediata da fórmula anterior:

3P(n) = 3(n/2) (3n-1) = (3n) (3n-1)/2 = T(3n-1).

Em termos geométricos, basta invocar o Teorema P1:

3P(n) = 3(3T(n-1) + n) = 9T(n-1) + 3n

 

 

 

Teorema P3:

P(n) = Q(n) + T(n-1)

 

 

    Por exemplo:

P(5) = Q(5) + T(4)

Uma Demonstração:

 

Invocando os Teoremas T1, Q1 e P1,

P(n) = 3T(n-1) + n = 2T(n-1) + n + T(n-1) = Q(n) + T(n-1)