Função Exponencial

        Chama-se função exponencial de base a à correspondência

f: lR     lR⁺

                         x      a^x    , com a > 0

        Nota que, a expressão analítica da função é uma potência, com a particularidade de ter base fixa e expoente variável.

        Se  a = 1,  a função é constante e tem pouco interesse.

        Vejamos agora, quando   0 < a < 1   e   a > 1:

Exemplos de aplicações da Função Exponencial

Exemplo 1: Bactéria

        Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de t dias?

 Resolução:                        

                      milhões de bactérias 

Ao fim de 1 dia                        1 + 0,5 = 1,5

Ao fim de 2 dias                      1,5 + 0,5x1,5 = 1,5(1 + 0,5) = 1,5²

Ao fim de 3 dias                      1,5 + 0,5x1,5² = 1,5² (1 + 0,5) = 1,5³

         ...                                                   ...

Ao fim de t dias                     ................................................................ 1,5^t 

            Vemos que o número de milhões de bactérias, ao fim de t dias, é dado por uma potência de expoente variável (exponencial).

               Sabemos que esta potência tem significado para qualquer valor real de t; no início da contagem é   t = 0  e antes desse instante é   t < 0.

                Sabemos, também, que os valores de  1,5t são sempre positivos. Portanto, temos a correspondência:

f: lR    lR

       t    1,5^t

que se chama  função exponencial de base 1,5.

Exemplo 2: Juros compostos

        A função exponencial intervém em numerosas aplicações matemáticas, na Ciência e na Indústria, e é indispensável no estudo de muitos problemas de Economia e Finanças, nomeadamente no cálculo dos "juros compostos".

            Diz-se que há um "juro composto" quando o juro ganho por certo capital, ao fim de um período de tempo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e passando, portanto, a ganhar juro. O investigador, no fim do segundo ano, receberá, portanto, "juro do juro" além do juro do capital.

            Por exemplo:

                Uma pessoa coloca 3000 contos a prazo, à taxa de 20% ao ano e não levanta dinheiro algum durante 10 anos.

                Quanto tem a receber (capital acumulado) ao fim desse período?

                E ao fim de x anos?

Resolução:                        

                          milhares de contos

Ao fim de 1 ano                      3 + 3x0,2 = 3 (1 + 0,2) = 3x1,2

Ao fim de 2 anos                    3x1,2 + 3x1,2x0,2 = 3x1,2 (1 + 0,2) = 3x1,2²

Ao fim de 3 anos                    3x1,2² + 3x1,2²x0,2 = 3x1,2³

    ............................................................................................................

Ao fim de 10 anos                3x1,2¹⁰ ≈ 18,575

Ao fim de x anos                 3x1,2^x

       Obtemos de novo uma função exponencial.

Derivada da função exponencial

● Derivada de  f(x) = e^x

    Aplicando a definição de derivada de uma função,

f`(x) = lim_h→0 (f(x + h) - f(x))) / h , temos que:

f`(x) = e^x

    Se   f(x) = e^u    onde u é função de x, temos que   f`(x) = u`. e^u.

    Nota que   f(x) = e^x   é a única função não nula igual à sua própria derivada.

● Derivada de  f(x) = a^x

    Seja qual for o número a, positivo, existe log_ea  e tem-se

a = e log_ea   ou   a = e ln a            (log_ea = ln a)

    Então    a^x = ( e^{ln a})^x = e ^{x ln a}.

    Logo    (a^x)` =  (e<sup>x</sup>ln a)` =  e^x ln a ( x ln a)` =  a^x. ln a.

    Portanto,

(a^x)`= a^x. ln a ,

sendo u uma função de x, temos:

(a^u)`= a<sup>u</sup>. ln a . u`.

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