Função logarítmica

 

        O conceito de função logarítmica está implícito  na definição de Napier e em toda a sua obra sobre logaritmos.

                Chama-se função logarítmica de base a à correspondência

g: lR+  lR

                                       x    loga x       , com a > 0, a ≠ 1.

 

  Principais Características

      

Função logarítmica

0 < a < 1

Função logarítmica

a > 1

             g: lR+   lR

                   x     loga

 

  ● Domínio = lR+

  Contradomínio = lR

  g é injectiva

  g(x) = 0 <=> x = 1

  g é continua e diferenciável em lR+

  A função é estritamente decrescente.

  limx→0+ loga x = + ∞

  limx→+∞ loga x = - ∞

  x = 0 é assimptota vertical

 

g: lR+   lR

         x   loga

 

  ● Domínio = lR+

  Contradomínio = lR

  g é injectiva

  g(x) = 0 <=> x = 1

  g é continua e diferenciável em lR+

  A função é estritamente crescente.

  limx→0+ loga x = - ∞

  limx→+∞ loga x = + ∞

  x = 0 é assimptota vertical

 

       

             Deste tipo de funções as mais importantes são as de base e.

 

 

Exemplos de aplicações da Função Logarítmica

 

Exemplo 1: Cultura de Bacilos

      O número de bacilos existentes numa determinada cultura, no instante t, é dado por

N = N0 . 2 (t/k)

em que N0 e k são constantes. As variáveis t e N estão expressas em horas e milhões de unidades, respectivamente.

            a) Interpreta o significado das constantes  N0 e  k.

            b) Qual a função que exprime, o número de horas que esta função leva a passar de N0 para  N, em função de  N?

Resolução:                         

     a) No instante  t = 0 vem  N = N0.20  logo  N = N0.

                Portanto, N0 é o número de bacilos existentes no início da contagem do tempo.

 

                Fazendo  t = k  vem  N = N0.2 .  Isto significa que k é o número de horas que decorrem até duplicar o número de bacilos.

         

          b)  N / N0 = 2(t/k)  <=>  t / k = log2 (N / N0)  <=>  t = k log2 (N / N0)

              Vemos que a expressão de t, em função de N, envolve um logaritmo da variável independente, logo é uma função logarítmica.

 

 

Exemplo 2: Sismos

        Segundo Richter (Sismologia Elementar, 1958) a magnitude M dum tremor de terra, que ocorra a 100 km de certo sismógrafo, é dada por

M = log10 A +3

onde A é a amplitude máxima em mm, do registo feito pelo aparelho.

               a) Qual é o significado da constante 3?

           b) Certo tremor de terra de magnitude  M1  produz um registo de amplitude A1. Exprime, em função de M1, a magnitude M doutro sismo cujo registo tem de amplitude   100A1, nas mesmas condições.

 

Resolução:                             

      a) Para  A = 1, vem  M = 3.  Isto significa que o tremor de terra tem magnitude 3, se provoca um registo de amplitude máxima 1 mm, nas condições indicadas.

                           

              b) Para uma amplitude   100A1  vem:

                        M = log10 (100A1) + 3 = log10 100 + log10 A1 +3

                            = 2 + (log10 A1 +3).

                    Portanto M = 2 + M1.

                    Assim temos uma função logarítmica.

 

 

Derivada da função logarítmica

 

Derivada de   f(x) = log x

    Calculando a derivada de   f(x) = log x,  pela definição de derivada de uma função,

f(x) = limh→0 (f(x+h) - f(x)) / h ,

num ponto a Є lR+ , temos que f`(a) = 1/a. Como a é um ponto qualquer do domínio, temos que:

(log(x))` = 1/x                      x Є lR+                      (base e)

    Recorrendo à regra da derivação da função composta e sendo   u = f(x),  vem que:

 (log u)` = u`/ x                      (base e)

em todo o ponto onde u seja positiva e derivável.

 

Derivada de   f(x) = loga x

    Tomando agora para base, qualquer outro número positivo (diferente de 1 e de e)  temos:

(loga x)`= 1 / xln a

e, sendo u função de x:

(loga u)`= u`/ uln a.

 

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