lRFunção logarítmica
O conceito de função logarítmica está implícito na definição de Napier e em toda a sua obra sobre logaritmos.
Chama-se função logarítmica de base a à correspondência
g:
lR+ lR
x
loga
x , com a > 0, a ≠ 1.
Principais Características
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Função logarítmica 0 < a < 1 |
Função logarítmica a > 1 |
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g: lR+ x
● Domínio = lR+ ● Contradomínio = lR ● g é injectiva ● g(x) = 0 <=> x = 1 ● g é continua e diferenciável em lR+ ● A função é estritamente decrescente. ● limx→0+ loga x = + ∞ ● limx→+∞ loga x = - ∞ ● x = 0 é assimptota vertical
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g: lR+
x
● Domínio = lR+ ● Contradomínio = lR ● g é injectiva ● g(x) = 0 <=> x = 1 ● g é continua e diferenciável em lR+ ● A função é estritamente crescente. ● limx→0+ loga x = - ∞ ● limx→+∞ loga x = + ∞ ● x = 0 é assimptota vertical
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Deste tipo de funções as mais importantes são as de base e.
Exemplos de aplicações da Função Logarítmica
Exemplo 1: Cultura de Bacilos
O número de bacilos existentes numa determinada cultura, no instante t, é dado por
N = N0 . 2 (t/k)
em que N0 e k são constantes. As variáveis t e N estão expressas em horas e milhões de unidades, respectivamente.
a) Interpreta o significado das constantes N0 e k.
b) Qual a função que exprime, o número de horas que esta função leva a passar de N0 para N, em função de N?
Resolução:
a) No instante t = 0 vem N = N0.20 logo N = N0.
Portanto, N0 é o número de bacilos existentes no início da contagem do tempo.
Fazendo t = k vem N = N0.2 . Isto significa que k é o número de horas que decorrem até duplicar o número de bacilos.
b) N / N0 = 2(t/k) <=> t / k = log2 (N / N0) <=> t = k log2 (N / N0)
Vemos que a expressão de t, em função de N, envolve um logaritmo da variável independente, logo é uma função logarítmica.
Exemplo 2: Sismos
Segundo Richter (Sismologia Elementar, 1958) a magnitude M dum tremor de terra, que ocorra a 100 km de certo sismógrafo, é dada por
M = log10 A +3
onde A é a amplitude máxima em mm, do registo feito pelo aparelho.
a) Qual é o significado da constante 3?
b) Certo tremor de terra de magnitude M1 produz um registo de amplitude A1. Exprime, em função de M1, a magnitude M doutro sismo cujo registo tem de amplitude 100A1, nas mesmas condições.
Resolução:
a) Para A = 1, vem M = 3. Isto significa que o tremor de terra tem magnitude 3, se provoca um registo de amplitude máxima 1 mm, nas condições indicadas.
b) Para uma amplitude 100A1 vem:
M = log10 (100A1) + 3 = log10 100 + log10 A1 +3
= 2 + (log10 A1 +3).
Portanto M = 2 + M1.
Assim temos uma função logarítmica.
Derivada da função logarítmica
● Derivada de f(x) = log x
Calculando a derivada de f(x) = log x, pela definição de derivada de uma função,
f(x) = limh→0 (f(x+h) - f(x)) / h ,
num ponto a Є lR+ , temos que f`(a) = 1/a. Como a é um ponto qualquer do domínio, temos que:
(log(x))` = 1/x ⍱ x Є lR+ (base e)
Recorrendo à regra da derivação da função composta e sendo u = f(x), vem que:
(log u)` = u`/ x (base e)
em todo o ponto onde u seja positiva e derivável.
● Derivada de f(x) = loga x
Tomando agora para base, qualquer outro número positivo (diferente de 1 e de e) temos:
(loga x)`= 1 / xln a
e, sendo u função de x:
(loga u)`= u`/ uln a.
