Logaritmos

Definição:

        Chama-se logaritmo de um número x na base a (a > 0 e a ≠ 1), ao número a que é necessário elevar a base a para obter x e escreve-se

 log_a x = y <=> a^y = x,

ou seja, o logaritmo de um número, numa dada base, é o expoente a que é preciso elevar a base para obter o número.

                Temos então que o log_a x = y <=> x = a ^{log x} <=> log_a a^y = y

   Exemplos:

             log₂ 128 = 7 <=> 2⁷ =128

                      log₅ 125 = 3 <=> 5³= 125

                      log₁₀ 100 = 2 <=> 10² = 100

                      log₃ 1/9 = -2 <=> 3^-2 = 1/9

                      log₄ 1 = 0 <=> 4⁰ =1

Nota: Quando a base é e omite-se o e e  escreve-se log x  em vez de log_e x.

Consequências da definição de logaritmo

1º) O logaritmo de 1 em qualquer base é 0.

                log_a 1 = y <=> a^y = 1. Como a > 0 e a ≠ 1, vem y = 0.

2º) Só é possível calcular o logaritmo de um número maior do que 0.

                Se escrevermos: log_a (-3) = y <=> a^y = -3.

                Como a > 0 e a ≠ 1, não existe nenhum valor de y que satisfaça a condição. Uma potência de base positiva é um número positivo.

Propriedades operatórias dos logaritmos

1) O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos factores:

log_a (x.y) = log_a x + log_a y                x, y Є lR⁺

2) O logaritmo  do quociente é igual à diferença entre os logaritmos dos termos:

log_a (x/y) = log_a x - log_a y                x, y Є lR⁺

3) O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base:

log_a x^p = p.log_a x                       x, y Є lR⁺ , ⍱ p Є lR

4) Mudança de base:

log_b x = log_a x. log_ba                    x, y Є lR⁺

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