Logaritmos

 

Definição:

        Chama-se logaritmo de um número x na base a (a > 0 e a ≠ 1), ao número a que é necessário elevar a base a para obter x e escreve-se

 loga x = y <=> ay = x,

ou seja, o logaritmo de um número, numa dada base, é o expoente a que é preciso elevar a base para obter o número.

                Temos então que o loga x = y <=> x = a log x <=> loga ay = y

 

   Exemplos:

             log2 128 = 7 <=> 27 =128

                      log5 125 = 3 <=> 53= 125

                      log10 100 = 2 <=> 102 = 100

                      log3 1/9 = -2 <=> 3-2 = 1/9

                      log4 1 = 0 <=> 40 =1

 

Nota: Quando a base é e omite-se o e e  escreve-se log x  em vez de loge x.

 

Consequências da definição de logaritmo

 

1º) O logaritmo de 1 em qualquer base é 0.

                loga 1 = y <=> ay = 1. Como a > 0 e a 1, vem y = 0.

 

2º) Só é possível calcular o logaritmo de um número maior do que 0.

                Se escrevermos: loga (-3) = y <=> ay = -3.

                Como a > 0 e a 1, não existe nenhum valor de y que satisfaça a condição. Uma potência de base positiva é um número positivo.

 

 

Propriedades operatórias dos logaritmos

1) O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos factores:

loga (x.y) = loga x + loga y                x, y Є lR+

 

2) O logaritmo  do quociente é igual à diferença entre os logaritmos dos termos:

loga (x/y) = loga x - loga y                x, y Є lR+

 

3) O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base:

loga xp = p.loga x                       x, y Є lR+ , p Є lR

 

4) Mudança de base:

logb x = loga x. logba                    x, y Є lR+

 

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