Problemas

① Lei exponencial de declínio.

    Alguns medicamentos, após entrarem no corpo humano, vão sendo eliminados naturalmente de tal modo que a quantidade activa M, do fármaco no organismo, segue uma lei exponencial de declínio da forma

M = M₀ e^-kt

em que k é uma constante positiva e t a variável tempo.

    a)  Qual é o significado de M₀?

   b)  Se a quantidade activa de um remédio se reduz a metade ao fim de uma hora, a quanto se reduzem 500 mg ao fim de 8 horas?

    c)  Qual é o valor de k para o remédio citado em b) ?

   d) Outro remédio elimina-se segundo a lei M = M₀e^-0,25t. Qual é a «semivida» deste remédio? (tempo que leva a reduzir-se a metade)

    e)  Prova que a «semivida» T se relaciona com k pela formula T = ln 2 / k.

② Juros Compostos

    Deposita-se num banco um capital C,

    a) à taxa anual de 16%. Exprime, em função de t, a quantia total Q acumulado em t anos, com juro composto.

    b)  à taxa semestral de 8%, mostra que Q₁, quantia total acumulada em t anos, é Q₁ = C 1,08^2t (juro composto).

    c)  Mostra que Q₁ > Q, para o mesmo tempo t.

③ A fórmula da aprendizagem de símbolos

    Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número  n   de símbolos que uma pessoa pode memorizar no tempo  t , em minutos.

    A fórmula é:  f (t) = 30 . ( 1 - e ^-t/3 )

    a) Calcule, de acordo com a função  f  e com aproximação às unidades, quantos símbolos uma pessoa pode memorizar em 4 minutos.

    b) Uma pessoa memorizou 26 símbolos.

        Quanto tempo precisou, aproximadamente, para realizar tal tarefa?    

④ A pressão atmosférica

    A pressão atmosférica,  P ,  em polegadas de mercúrio  ( 1 polegada = 25,4 mm ), é dada por :

P (h) = 30 x 10^-0,09h

onde h é a altura, em milhas  ( 1 milha = 1609 metros ) , acima do nível do mar.

    Calcule:

    a) a pressão atmosférica 3 km acima do nível do mar;

    b) com erro inferior a  0,1 milhas , determine a altura de uma montanha sabendo que no cume a pressão atmosférica é de 505 mm de mercúrio.

⑤  Biologia : Crescimento de uma população

    De um modo geral, a população, ou seja, o numero de bactérias, mosquitos, etc,  existentes num instante t é dado por uma lei exponencial do tipo

 P= P₀ e ^kt ,

onde k é uma constante positiva, chamada constante de proporcionalidade, e P₀ é a população inicial ( população no instante t = 0).

    Suponhamos então uma situação concreta em que o número P de mosquitos é dado pela expressão:

P = P₀ e ^0,01t ,

onde o tempo t é expresso em dias.

        Determine a população inicial P₀, sabendo que depois de 30 dias a população é de 400 000 mosquitos.

⑥ O capital acumulado a prazo ao fim de n anos, quando capitalizado de forma continua , pode ser calculada através da função

C = C₀ e ^tn ,

em que C₀ representa a quantia depositada e t a taxa de juro anual ( na forma decimal). Supondo C₀ = 10 000 euros e t = 8%, determina :

    a) a quantia acumulada ao fim de um, de dois e de oito anos e meio.

    b) aproximadamente ao fim de quanto tempo duplica o capital?

⑦ A quantidade, em gramas, de substância radioactiva de uma amostra decresce segundo a fórmula

Q(t) = Q₀ e ^–0,0001t,

em que t representa o número de anos. Ao fim de 5 000 anos restavam 3 gramas de substância radioactiva na amostra. Quantas gramas existiam inicialmente?

⑧ Ruídos

    Um  som de nível A de decibéis está relacionado com a sua intensidade  i  pela equação

A = 10 log i       ( com i > 0 )

Com i expressa em unidades adequadas.

    a) Um som com 1 000 unidades de intensidade atinge quantos decibéis?

    b) De um local próximo os níveis de ruído provocados por um camião e por um avião a jacto são, respectivamente, 100 e 120 decibéis.

        Qual é a razão entre a intensidade de ruído provocado pelo avião a jacto e a do ruído do camião?

    c) Exprima i  em função de A.

Exercícios

①  Se log₄ a = x calcula, em função de x:

    a)  log₄ 4a ;            b)  log₄ (a/2) ;

    c)  log₄ a3 ;            d)  log₄ 8√a ;

    e)  log₄ (1/a) ;

②  Calcula, sem calculadora:

    a)  log_0,1 10 ;                b)  log₁₀ 0,1 ;

    c)  log_√2 4 ;                 d)  log_0,5 4 ;

    e)  log_√2 4√2 ;

③ Simplifique as expressões:

    a) e^{log x} + e ^{3log x};                b) e ^{x log (log e)};

    c) e^{3 + log x} - e^{3 - log x};            d) log (e^{2 + x})^x - log e^{(x^2)}

④ Resolva as equações em x:

    a)  log_x 100 = -2;                b)  log₈ x = 3;

    c)  log₂ 3x = -1;                  d)  2^x = 1/8;

    e)  3^2x-1 = 1;

⑤ Seja g(x) = 3 + log(x + 1).

       Determinar o domínio e o contradomínio de g e caracterize a função inversa.

⑥ É dada a função

f(x) = 2 - 2e^1-x

    a) Determine o domínio e o contradomínio de f.

    b) Calcule o valor de x ∈ D_f, tal que:

            i) f(x) = f(1);                         ii) f(x) > 0.

⑦ Escreva a expressão seguinte sem usar o símbolo log:

e^xlog2 + e^logx-2logy + 5^(-2log₅3) ,    (x > 0 ,  y > 0).

⑧ Determine o conjunto de solução, em lR de cada uma das condições seguintes:

    a) e ^3+2logx = (3x -2) . e³

     b) log (x - 2) > log (x - 3) - log 3

⑨ Das seguintes afirmações, diga, justificando, quais são falsas.

    a) A função   f(x) = (-3)^x   é uma função exponencial.

    b) A função    f(x) = x²    é uma função exponencial.

    c) A função    f(x) = 3^x     é uma função invertível.

    d) Se   3x = - 1 / 27,   então   x = -3.

    e) Se   f(x) = e^x ,  então   f(0,5) = √e.

    f) A função exponencial    f(x) = a^x ,   a > 0  e   a ≠ 1   é uma função decrescente.

    g) Se   f(x) = log₂ (x) , então   f^-1(x) = 2^x.

    h)  e^ln(x) = x.

    i) A função f(x) = 2^x + 2^-x  é idêntica à função g(x) = 2⁰.

⑩ Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

    a)  ( 3^-√2 x 3^-1/3 ) : ( 3^-√3)^1/3  =  3,7    ( 1 c. d. ).

    b) log₂ 64 = - x   <=>  x = 1/6.

    c) 3^( log₃ 27 ) + e^( log_e 4 ) = 31.

    d) 6 ^ ( x2 - 7x + 10 ) = 1  <=>  x  = 5.

⑪ Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

    a)  log ( 9 + log ( 9 + log x )) - 1  =  0  <=>  x = e .

    b) log₉ ( 3^x + 8 ) = x + 1   é  uma equação impossível.

    c) log_x 100 -  log_x 25  =  2  é uma equação indeterminada.

    d) ln ( x + 1 ) - ln ( x - 1 ) - ln ( 1 + 1/x) + ln (1 - 1/x)  =  0   se   x > 1.

Soluções/Resoluções  

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