Soluções/Resoluções

Problemas

①

     a) Para t = 0 vem  M = M₀ ,  logo M₀ é a quantidade activa inicial (a que entrou no organismo inicialmente).

     b) Ao fim de  1 horas → M₀ / 2

          Ao fim de   2 horas → M₀ / 2²

               ......................................................

        Assim, ao fim de  8 horas, teremos   M = M₀ / 2⁸,  neste caso,  M = 500 /256  o que dá M ≈ 1,95 mg.

(recorda que, em geral, ao fim de 6 a 8 horas é preciso renovar a dose).

       c) Se ao fim de t de horas se reduz a   M₀ / 2^t,  temos  M = M₀ /2^t  <=>  M = M₀ / e^{ln 2.t}

                            <=>  M = M₀ e^-ln2.t.

           Portanto  k = ln 2.

        d)  M₀ / 2 =  M₀. e^-0,25t   <=>   -0,25t = ln (1/2)   <=>   t = (ln 2) / 0,25.

        e) Sendo M = M0 e-kt, a «semivida» T será o tempo ao fim do qual M0 se reduziu a M0 / 2, logo temos:

                M₀ /2 = M₀ e^-kt  <=>  1/2 = e^-kt  <=>  kt = ln 2  <=>  t = (ln 2)/t.

②

    a)  Ao fim de  1 ano → C + 0,16C = C.1,16

           Ao fim de  2 anos → C.1,16 + 0,16 (C.1,16) = C.1,16²

                       ........................................................................

           Ao fim de  t anos →             ...                    = C.1,16^t

                    Q = C.1,16^t

    b)  Ao fim de 1 semestre → C.1,08

             Ao fim de 2 semestre (1 ano) → C.1,08²

             Ao fim de t de anos (2t de semestres) → C.1,08^2t

                Q₁ = C.1,08^2t

        c)  Q₁ = C.1,08^2t = C.(1,08²)^t = C. (1,1664)^t > C. 1,16^t = Q

              logo Q₁(t) > Q(t).

③

    a)  22  símbolos;                b)  6  minutos.

④

    a)   20,38 polegadas  ( 2 c. d. );                    b)  2 milhas.

⑤    P = 400 000

        t = 30

        4 x 10⁵ = P₀ e ^0,01x30 ó P₀ =(4 x 10⁵)/ e ^0,3 ó P₀ = 4 x 10⁵ x e^-0,3

            Recorrendo a uma calculadora obtemos P₀ = 296 327 mosquitos.

⑥

    a)   C(1) = 10 833 ;   C(2) = 11 735 ;   C(8,5) = 19 739.

    b)   8,664 anos aproximadamente.

⑦   4,946 gramas aproximadamente.

⑧

    a)  Para i = 1 000,    vem A = 10log 1 000

                                      = 10log 10³

                                      =  30         pois, por definição de logaritmo de base 10,   log10³ = 3.

      O som atinge 30 decibéis.

b) Comecemos por determinar a intensidade provocada pelo ruído do camião:

como    A = 100   vem   100 = 10log i  <=>   log i = 10  <=>  i = 10¹⁰,     por definição de logaritmo de base 10.

De modo análogo, a intensidade do som produzida por um avião a jacto é

120 = 10log i <=>  log i = 12  <=>  i = 10¹².

A razão entre as intensidades dos ruídos provocados pelo avião a jacto e o camião é, então,

( 10¹²)/ (10¹⁰) = 10²=100.

    c) A = 10log i    ( com i >0 )

            <=>  log i = A/ 10

            <=>  i = 10 ^{( A/10)}

               <=> i = 10 ^0,1A.

Exercícios

①

    a)  1 + x;            b)  x- 1/2;

    c)  3x;          d)  3/2 + (1/2)x;               

    e)  -x

②

    a)  -1;            b)   -1;

    c)   4;            d)  -2;               

   e)   5.

③

    a) x + x³ ;                       b) 1;

    c) e³ x - e³/x;                d) 2x.

④

    a)  0,1 ;            b)   512;

    c)   1/6 ;           d)   1/2;

    e)   -3.

⑤ g(x) = 3+ log ( x + 1 )

            D_g = { x ∈ lR : x + 1 > 0 } = ] -1, +∞ [

    Determinação da inversa:

            Como a função é injectiva, tem inversa.

                        y = 3 + log ( x + 1 )

                        y - 3 = log ( x + 1 )

                        e^{y - 3} = x + 1

                        x = - 1 + e^{y - 3}

                        D`_g = lR

                Logo,

                        g-1 : lR   ] -1 , + ∞ [

                                  x   - 1 + e^{y - 3} .

⑥

    a) D_f = lR ; D´_f = ] - ∞; 2 [

    b) i) x = 1 ;        ii) ] 1 , + ∞ [ .

⑦ Sabemos, por definição de logaritmo que:

log_ax = y <=> a^y = x <=> a^(log_ax) = x.

        Então :

                    e^xlog2 = e^(log2^x) =2^x

                    e^{logx - 2logy}  =  e^{logx - log(y^2)}  =  e^{log(x/(y^2))}  =  x/y²

                    5^(-2log₅3)  =  5^(log₅(3)^-2)  =  1/9

        Então:    e^xlog2 + e^(logx - 2 log₅3) + 5^(-2log₅3) = 2^x + x/Y² + 1/9

⑧

    a) e^{3 + 2log x} = (3x - 2).e³ <=> e³.e^{logx^2} - (3x-2).e³=0

                                                 <=> e³ (x² - 3x + 2) = 0

                                                 <=> x = 1  v  x = 2

                                            { 1, 2 }.

    b) A expressão log (x - 2) > log (x - 3) - log 3 só tem significado se  x - 2 > 0  ∧  x - 3 > 0 , portanto para valores de x > 3.

            Por outro lado,

                    log (x - 2) > log (x - 3) - log 3 <=> log (x - 2) > log ((x - 3)/3)

e, atendendo a que a função log x é crescente, vem:

                    log (x - 2) > log ((x - 3)/3)  <=> x - 2 > (x - 3)/3 <=> x > 3/2.

        Portanto a condição dada é satisfeita se

x > 3  ∧  x > 3/2  <=>  x > 3.

] 3, + ∞ [.

⑨

        a)  e  b)  não são do tipo     x    a^x   , com   a > 0   e   a ≠ 1  ;

       d)   3x  >  0  ,   ∀  x ∈ lR;

      f)  Se  a > 1  ,  f  é cresceste;

      i)  2^x + 2^-x  ≠ 2⁰  ,  ∀  x ∈ lR.

⑩   c)

⑪   d)

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