Euler

Leonhard Euler, nasceu a 15 de Abril de 1707 em Basel, na Suíça, e morreu a 18 de Setembro de 1783 em São Petersburgo, na Rússia.

O pai de Leonhard Euler era Paul Euler que estudou teologia na Universidade de Basel, na qual assistiu a aulas de Jacob Bernoulli (de facto, Paul Euler viveu com Johann Bernoulli enquanto estudava em Basel). Tornou-se padre protestante e casou com Margaret Tucker. O filho deles, Leonhard Euler, nasceu em Basel mas cresceu em Riehen, para onde a família se mudou. Foi Paul Euler que, como tinha algum treino matemático, ensinou ao filho matemática elementar, entre outras matérias.

Leonhard foi estudar para a escola em Basel e, durante esse tempo, viveu com a sua avó materna. Esta escola era muito pobre a todos os níveis e Euler não aprendeu nenhuma matemática enquanto a frequentou. No entanto, o seu interesse pela Matemática, despertado pelos ensinamentos do pai, nunca foi esquecido e, por iniciativa própria, leu vários textos de matemática e frequentou aulas privadas.

Como o pai de Euler queria que o seu filho seguisse as suas pegadas na igreja, enviou-o para a Universidade de Basel de modo a que Euler se tornasse padre. Entrou para a universidade em 1720, com 14 anos de idade. Johann Bernoulli, descobriu cedo, durante as aulas privadas que lhe dava (a pedido do próprio Euler), o grande potencial de Euler para a matemática.

Iniciou o seu estudo em teologia no Outono de 1723, seguindo os desejos de seu pai e, apesar de se vir a tornar um cristão devoto durante toda a sua vida, não conseguiu encontrar o entusiasmo pelo estudo da teologia que tinha encontrado na matemática. Euler conseguiu o consentimento do pai para mudar para matemática, após uma preciosa ajuda de Johann Bernoulli na persuasão deste (o facto de o pai de Euler e Johann Bernoulli terem sido amigos durante os anos que estiveram na universidade de Basel, sem dúvida, que tornou a tarefa de persuasão mais fácil). Euler completou os seus estudos na universidade de Basel em 1726. 

Estudou vários trabalhos matemáticos durante a sua estadia em Basel.

Em 1726, Euler já tinha publicado um pequeno artigo e, em 1727, publicou outro artigo sobre trajectórias recíprocas. Este artigo ganhou o segundo lugar no Grande Prémio da Academia de Paris, o que foi um grande feito para este jovem licenciado.

No entanto Euler teria de encontrar por si próprio um lugar académico e teve essa oportunidade quando Nicolaus(II) morreu. Foi então oferecido a Euler o posto de Nicolaus(II), envolvendo-o no ensino de aplicações da matemática e da mecânica na fisiologia. Aceitou o posto em Novembro de 1726 com a condição de não viajar para a Rússia antes da primavera do ano seguinte.

Euler deixou Basel a 5 de Abril de 1727, viajou de barco pelo Rhine, atravessou a Alemanha num comboio correio, e novamente de barco desde Lübeck, chegando a S.Petersburgo a 17 de Maio de 1727.

Dois anos após a mulher de Pedro o Grande, Catarina I, ter fundado a Academia de Ciências de S. Petersburgo, Euler tornou-se num dos seus membros.

Através de um pedido de Daniel Bernoulli e de Jakob Hermann, Euler passou a fazer parte da divisão de matemática-física, em vez do posto de fisiologia que lhe tinha sido oferecido antes.

Entre 1727 e 1730, Euler serviu como médico tenente na marinha russa.

Em S.Petersburgo, viveu com Daniel Bernoulli.

Euler tornou-se professor de física na academia em 1730 e pôde desistir do seu posto na marinha russa, uma vez que este facto permitiu-lhe tornar-se por inteiro, membro da academia.

Em 1733 Euler foi nomeado para professor regente da cadeira de matemática na academia - lugar ocupado até então por Daniel Bernoulli até ter deixado S. Petersburgo para voltar para Basel. Esta nomeação, trouxe-lhe uma melhoria financeira que permitiu que casasse, em 7 de Janeiro de 1734, com Katharina Gsell. Tiveram, ao todo, 13 filhos, no entanto, apenas cinco sobreviveram à infância. Euler afirmou que muitas das suas maiores descobertas matemáticas foram feitas enquanto segurava nos braços um bebé e outra criança brincava a seus pés.

A publicação de vários artigos assim como do seu livro "Mechanicas" (1736-37), que apresentava pela primeira vez na forma de análise matemática, dinâmicas newtonianas, iniciou Euler no percurso do seu melhor trabalho matemático.

A saúde de Euler começou a dar problemas em 1735 quando uma grave febre quase lhe levou a vida. Esta febre, na opinião de Calinger, foi um sintoma de cataratas que cegaram Euler, primeiro no olho direito.

Em 1740, Euler gozava já de uma alta reputação, tendo ganho o Grande Prémio da Academia de Paris em 1738 e em 1740 - em ambas as ocasiões, partilhou o primeiro prémio com outros. Deixou S. Petersburgo a 19 de Junho 1741 e chegou a Berlim a 25 de Julho (a convite de Frederico o Grande).

Maupertuis era o presidente da Academia de Berlim quando esta foi fundada em 1744 com Euler como director de matemática, e os dois tornaram-se grandes amigos. Não existiam, de modo algum, limites para as suas tarefas - para além de lidar na academia com a livraria e com as publicações científicas, também era conselheiro do governo em vários assuntos, como seguros, lotarias, artilharia, etc.

Durante os vinte e cinco anos que passou em Berlim, Euler escreveu cerca de 380 artigos. Escreveu livros sobre o cálculo de variações, o cálculo das órbitas dos planetas, sobre artilharia e balística, análise, construção de navios e navegação, movimento da lua, cálculo diferencial e a famosa publicação científica "Cartas para uma Princesa da Alemanha" (3 volumes, 1768 - 72).

Em 1759 Maupertuis morreu e Euler assumiu a liderança da Academia de Berlim, mas não o título de presidente. Euler, que tinha discutido em matérias científicas com d'Alembert, ficou bastante perturbado quando o rei Frederic ofereceu a d'Alembert a presidência da Academia em 1763.

Em 1766 Euler regressou a S. Petersburgo, tendo pouco depois, após uma doença cegado quase completamente. Em 1771 a sua casa foi destruída por um incêndio e Euler apenas conseguiu salvar-se a si próprio e aos seus apontamentos matemáticos. Ainda em 1771, pouco depois do incêndio, Euler foi submetido a uma operação às cataratas, que lhe devolveu a visão por alguns dias, mas, como Euler não tomou os devidos cuidados consigo próprio, acabou por ficar totalmente cego. No entanto, conseguiu continuar o seu trabalho sobre óptica, álgebra e movimento lunar, por ter uma memória notável. Espantosamente, após o seu regresso a S. Petersburgo (então com 59 anos), Euler produziu quase metade dos seus trabalhos, apesar da tal cegueira.

É claro que, Euler não conseguiu produzir sozinho, foi então ajudado pelos seus filhos: Johann Albrecht Euler, professor de física da academia de S. Petersburgo (que se tornou seu secretário em 1769), e Christoph Euler, que tinha uma carreira militar. Também o ajudaram alguns membros da Academia, W. L. Krafft e A. J. Lexell, o jovem matemático N. Fuss (ajudou-o na preparação de mais de 250 artigos para publicação, durante um período de cerca de 7 anos, incluindo um importante trabalho sobre seguros que foi publicado em 1776).

Yushkevich descreve o dia da morte de Euler do seguinte modo:
No dia 18 de Setembro de 1783 Euler passou a primeira
metade do dia como habitual. Ele deu uma lição de matemática
a um dos seus netos, (...) depois discutiu com Lexell e com Fuss
a recente descoberta do planeta Urânio. Cerca das 5 horas da
tarde sofreu uma hemorragia cerebral e murmurou, apenas", antes de perder a consciência, "Eu estou a morrer". Euler morreu por volta das 11 horas da noite.

Após a sua morte, em 1773, a Academia de S. Petersburgo continuou a publicar o trabalho de Euler durante, aproximadamente 50 anos.
O trabalho de Euler na matemática é tão vasto que é apenas possível dar uma ideia superficial dele. Ele foi o matemático mais produtivo de todos os tempos. A ele devem-se grandes avanços no estudo da geometria analítica moderna e na trigonometria, onde foi o primeiro a ter em conta as noções de seno e coseno, etc., em vez das cordas como Ptolomeu tinha considerado. Euler fez contribuições decisivas para a geometria, cálculo e teoria dos números. Euler integrou cálculo diferencial de Leibniz e o método das fluxões de Newton na análise matemática. Introduziu as funções Beta e Gama e factores de integração para equações diferenciais. Estudou mecânica contínua, teoria lunar, o problema dos três corpos, elasticidade, acústica, a teoria das ondas de luz, hidráulica e música.

A Euler devemos a notação f(x) para função (1734), e para base de logaritmos naturais (1727), i para a raiz quadrada de -1 (1777), p  para pi, S para somatório (1755), entre muitos outros.

Euler estudou vários resultados por demonstrar de Fermat, tendo demonstrado algumas dissertações, incluindo o último teorema de Fermat.

Em 1748, em "Introductiu in analysin infinitorum" Euler tornou mais precisas as ideias de Johann Bernoulli na definição de função, tendo afirmado que análise matemática era o estudo de funções. Este trabalho apresenta como base o cálculo em vez das curvas geométricas, como era feito até então. Neste trabalho, Euler dá a fórmula
e^ix = cos x + i sen x . Em 1727, descobriu a fórmula ln(-1) = p i .

Publicou na totalidade a sua teoria de logaritmos de números complexos em 1751.

Descobriu as equações de Cauchy-Riemann em 1777, apesar de d'Alambert as ter descoberto em 1752 enquanto estudava Hidrodinâmica.

Em 1755 Euler publicou "Institutiones calculi differentialis" o que iniciou o estudo do cálculo de diferenciações finitas. Em "Institutiones calculi integralis" (1768 - 70) Euler fez uma investigação de integrais que poderiam ser escritos em termos de funções elementares. O cálculo de variedades é outra área na qual Euler fez descobertas fundamentais. O seu artigo "Methodos inverniendi lineas curvas...", publicado em 1740 iniciou o estudo do cálculo de variedades.

Problemas de física matemática levaram Euler para um estudo de equações diferenciais - considerou equações lineares com coeficientes constantes, equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis, um método de variação das constantes, factores integrantes, entre outros. Euler contribuiu, substancialmente, para a geometria diferencial. Muitos dos resultados, que não foram publicados por Euler nesta área, foram redescobertos, mais tarde, por Gauss.

Talvez o resultado que mais fama trouxe a Euler na sua juventude foi a solução, do que foi conhecido como, o problema de Basel que derrotou muitos matemáticos famosos, incluindo Jacob Bernoulli, Daniel Bernoulli e Johann Bernoulli. Este problema foi também estudado, sem sucesso, por Leibniz, Stirling, de Moivre, entre outros.