ZENÃO DE ELEIA  

Pensa-se que Zenão tenha nascido cerca de 490-485 a. C., e desafiando posteriormente os conceitos de movimento e de tempo através de quatro paradoxos que criaram uma certa agitação, ainda hoje visível. 

As teorias do movimento estão intimamente relacionadas com as teorias sobre a natureza do espaço e do tempo. Na Antiguidade, foram defendidas duas perspectivas opostas: a hipótese do Uno, defendida por Parménides (n. 515-510 a.C.), e a dos seus adversários, que defendiam o pluralismo.

Zenão era discípulo de Parménides e tentou fazer com que os seus adversários caíssem em contradição. De facto, Zenão mostrou que examinando a questão a fundo se obtêm consequências mais absurdas partindo da hipótese da pluralidade do que da hipótese do Uno.

As hipóteses contra as quais Zenão dirigiu o seu talento destrutivo foram principalmente a da pluralidade e a do movimento, que eram indiscutivelmente aceites por todos, salvo pelos próprios Eleatas.

Zenão! Cruel Zenão! Zenão de Eleia!
Atravessas-te-me com essa flecha alada
Que vibra, voa, e que não voa!
O som me faz nascer e a flecha me mata! 
Valéry


Objectivo dos paradoxos 
As teorias do movimento dependem inevitavelmente de teorias sobre a natureza do espaço e do tempo. Na Antiguidade, foram defendidas duas perspectivas opostas do espaço e do tempo. Ou o espaço e o tempo são infinitamente divisíveis, e, nesse caso, o movimento é contínuo e de fluir suave; ou, então, são compostos de mínimos indivisíveis e, nesse caso, o movimento é aquilo a que Lee chama, com propriedade, "cinematográfico", por consistir numa sucessão de saltos diminutos. Veremos que os argumentos de Zenão se dirigem contra ambas as teorias - os primeiros dois argumentos contra a primeira, os restantes dois contra a última.

O estádio 
O primeiro argumento de Zenão reduz-se simplesmente a isto: "É impossível atravessar o estádio; porque, antes de se atingir a meta, deve primeiro alcançar-se o ponto intermédio da distância a percorrer; antes de atingir esse ponto, deve atingir-se o ponto que está a meio caminho desse ponto; e assim ad infinitum". Por outras palavras, com base na hipótese de que o espaço é infinitamente divisível e de que, portanto, qualquer distância finita contém um número infinito de pontos, é impossível alcançar o fim de uma série infinita num tempo finito.

Aquiles e a tartaruga 
Tendo-se ocupado, em "o estádio", de um único corpo em movimento, Zenão passa, no "Aquiles", a ocupar-se do movimento relativo de dois corpos. O argumento, desta vez, é o seguinte: "Aquiles nunca pode alcançar a tartaruga; porque na altura em que atinge o ponto donde a tartaruga partiu, ela ter-se-á deslocado para outro ponto; na altura em que alcança esse segundo ponto, ela ter-se-á deslocado de novo; e assim sucessivamente, ad infinitum" (...) 
Isto conclui a tentativa de Zenão para desacreditar o movimento "contínuo", passando, a seguir, à discussão do movimento "cinematográfico".

A seta voadora 
Este terceiro argumento pode ser, com toda a segurança, reconstituído da seguinte maneira: "Um objecto está em repouso quando ocupa um lugar igual às suas próprias dimensões. Uma seta em voo ocupa, em determinado momento, um espaço igual às suas próprias dimensões. Por conseguinte, uma seta em voo está em repouso". É fácil de ver que este argumento, ao contrário dos dois que o precederam, trata igualmente o espaço e o tempo como algo composto de mínimos indivisíveis."
A questão central dos paradoxos de Zenão reside na impossibilidade de considerar segmentos de espaço e de tempo como sendo formados por uma infinidade de elementos individuais e, não obstante, separados uns dos outros, isto é, descontínuos.
Zenão sabia, evidentemente, que Aquiles podia apanhar a tartaruga, que um corredor pode percorrer o estádio, e que uma seta em voo se move. Pretendia simplesmente demonstrar as consequências paradoxais de encarar o tempo e o espaço como constituídos por uma sucessão infinita de pontos e instantes individuais consecutivos como as contas de um colar.
A solução destes paradoxos exige uma teoria como a Cantoriana, que combina a nossa noção intuitiva de pontos e acontecimentos individuais com uma teoria sistemática de conjuntos infinitos. 
É o que Russell reconhece no seu livro Our Knowledge of the External World, ao defender que os paradoxos de Zenão apenas obtiveram uma resposta efectiva quando Georg Cantor desenvolveu a teoria dos conjuntos infinitos, visto que ela permite tratar conjuntos infinitos de pontos no espaço, assim como acontecimentos no tempo, como todos completos, e não simplesmente como colecções de pontos ou sucessões de instantes individuais.