Uma demonstração... para a propriedade dos quadriláteros obtidos pelos pontos médios de outro quadrilátero
Os triângulos [ABC] e [FBG] são semelhantes:
O ângulo em B é comum;
AB = CB = 2
FB GB
( mais o critério de semelhança que afirma que se dois triângulos têm um ângulo igual e os lados que o formam directamente proporcionais, então eles são semelhantes)
Então ÐBFG = ÐBAC e portanto FG é paralelo a AC.
Analogamente, usando os triângulos [ADC] e [EDH], conclui-se que AC é paralelo a EH.
Portanto, por transitividade da relação de paralelismo, vem que FG é paralelo a EH.
Da mesma forma:
Usando os triângulos [HCG] e [DCB] vem que GH é paralelo a BD;
Usando os triângulos [EAF] e [DAB] vem que FE é paralelo a BD.
Portanto, GH é paralelo a FE.
Portanto, o quadrilátero [EFGH] tem dois pares de lados paralelos logo é um paralelogramo. Prova é válida quando o quadrilátero inicial não é convexo.
Existem muitas outras demonstrações mas esta é particularmente simples...