Triângulo de Pascal
Se tivermos muitos cubos grandes, podemos pensar em construir uma pirâmide com eles.
Vamos analisar o que construímos do seguinte modo:
Escrevemos o nº 1 nos cubos se tivermos apenas 3 cubos
Se tivermos 6 cubos, fazemos
E continuamos do seguinte modo
E podemos ir completando, obtendo:
Se reparares com atenção vais ver que na 1ª diagonal temos tudo 1’s, na 3ª diagonal temos todos os números triangulares. Podemos sempre compreender como se constrói o triângulo, pois dos números triangulares sabemos que:
1 + 2 = 3
3 + 3 = 6
6 + 4 = 10
10 +5 = 15
15 + 6 = 21
Acabaste de construir o famoso triângulo de pascal! Vamos agora ver algumas propriedades desse triângulo. Repara na soma dos elementos de cada linha,
1 + 1 = 2
1 + 2 + 1 = 4 = 22
1 + 3 + 1 = 8 = 23
Portanto a soma da n_ésima linha será 2n
Se pintarmos o triângulo com cores da seguinte forma:
Se reparares nas escadinha com a mesma cor, que conduzem, da direita, em cima, para baixo, à esquerda, e somares tudo o que encontrares com a mesma cor. Assim temos:
Vermelhos só 1;
Laranja só 1;
Azuis 1 + 1 = 2;
Verdes 2 + 1 = 3;
Voltando ao vermelho 1+3+1=5;
voltando ao Laranja 3+4+1=8;
voltando ao azul 1+6+5+1=13;
Assim obtemos 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… como te deves lembrar estes são os números de Fibonacci.
Para a próxima propriedade vamos apagar alguns números que não interessam, os impares, ficamos com o triângulo da seguinte forma.
Só com os pares.
Como estas a ver, estabelece-se um padrão, isto é, muitos triângulos dentro do triângulo. Vamos analisá-los! O triângulo do meio é composto por 6 cubos. O triângulo grande por 28 cubos. Verificamos também que são os números triangulares pares. Agora se pensarmos, não só, nos pares mas em todos os números que são divisíveis por 5 obtemos:
É igual! Isto é, verifica-se do mesmo modo que obtemos novamente os números triangulares. Fantástico, não achas?