Os egípcios utilizavam um sistema de numeração de base 10 aditiva, com um
símbolo para cada potência de 10,
até 10^7, fazendo depois a repetição desse símbolo quantas vezes fosse
necessário para representar o número desejado. Mais tarde, com a escrita
hierática, específicaram-se ainda mais determinados números, como se pode ver
pelas imagens, à direita os números representados em hierático e abaixo escritos em hieróglifos.
Os símbolos
hieróglifos são, respectivamente, um traço vertical, a asa de um cesto, uma corda
enrolada, uma flor de lótus, um dedo inclinado, uma ave ou girino, um homem
sentado ou espantado e, não aqui representado, mas para 10^7 seria um sol.
De notar ainda que, nesta escrita os símbolos podiam-se
escrever com qualquer orientação, esquerda ou direita, embora a própria escrita
se efectuasse da direita do papiro para a esquerda.
Como exemplos de representação numérica, temos esta imagem à esquerda e compare-se estes símbolos com os acima indicados.
= Operações com inteiros =
Para a adição,
expressa em hieróglifos, bastava contar quantos símbolos havia de cada tipo e
escrever o resultado final com todos os símbolos de cada um deles, substituindo,
eventualmente, cada dez símbolos iguais de cada potência de 10, por um símbolo
da potência imediatamente superior.
A multiplicação por 10 era feita atendendo apenas ao facto de cada
símbolo representativo de uma determinada potência de 10 ser substituído pelo
símbolo da potência imediatamente superior.
Para a divisão e multiplicação geral, usava-se a regra
do dobro.
A regra do dobro consiste em sucessivas duplicações do número em causa, escrevendo na vertical tanto o dobro (potências de 2) como o valor da multiplicação desse dobro pelo multiplicando. No final, somavam-se os valores dos dobros até perfazer o numéro desejado, podendo-se repetir a a contagem dos dobros, por exemplo, 12 = 4 + 8 = 4 + 4 + 4, e somavam-se também os valores das multiplicações correspondentes. Uma nota indicaria quais os dobros escolhidos. Vejamos o exemplo;
Multiplicar 16 por 13
Antes de iniciar a
resolução escolhia-se o número que se tomava para multiplicando. Supondo o 16
escolhido, escrevia-se:
\1 \16
2 32
\4 \64
\8 \128
----------------- total
13 208
Assim, na esquerda estão assinalados os dobros escolhidos, 1 + 4 + 8 = 13 e na
direita surgem então os valores somados e a correspondente multiplicação
desejada, 16 + 64 + 128 = 208.
Correntemente, isto seria idêntico a
escrever 16 x 13 = 16 x ( 1 + 4 + 8) = 208.
Dividir 1120 por 80, ou como seria escrito, operar sobre 1120 para obter 80
Este, aliás, é o problema 69 do Papiro de Rhind. Vamos escrever o problema tendo em conta quantas vezes se pode multiplicar 80 para obter 1120.
1 80
\2 \160
\4 \320
\8 \640
------------------ total
14 1120
Temos assim que 80 x ( 2 + 4 + 8) = 1120 e portanto a soma dos dobros assinalados perfaz o quociente desejado.
Para efectuar a divisão não exacta, adicionavam-se os dobros até que o número obtido diferisse do número que se queria, menos que o multiplicando. Por exemplo, fazendo 587 a dividir por 94, obteríamos pelos dobros a aproximação 564, em que 587 - 564 = 23 < 94 e seria esse valor o resto.
Como última observação, a regra do dobro baseia-se no facto de que todo o natural pode ser expresso, de forma única, como soma de potências de 2.
= Operações com fracções unitárias =
Sobre a forma como se usavam fracções, pouco
sabemos através dos papiros, mas de um tipo especial temos alguma informação,
são elas as fracções unitárias. São fracções de numerador igual à unidade, que
eram representadas em hieróglifos escrevendo o símbolo
por cima do correspondente
denominador.
Por exemplo, 1/3 seria escrito como
.
Na escrita hierática, esse símbolo simplificou-se para apenas um ponto.
Para a fracção 2/3, usava-se o símbolo
, fracção essa que era usada
para vários cálculos, tendo até sido detentora de uma regra, aquela que se chama
a regra dos 2/3.
Dada uma fracção ímpar, fracção unitária de denominador
ímpar, para calcular 2/3 dessa fracção, dever-se-ia multiplicar a fracção por 1/2
e por 1/6 e somar esses valores, por exemplo, 2/3 de 1/11 seria
feito desta forma;
2/3 x 1/11 = 1/2 x 1/11 + 1/6 x 1/11 = 1/22 + 1/66.
Isto tem origem no
facto de nas matemática do Antigo Egipto apenas se efectuarem operações
aritméticas com fracções unitárias e de 2/3 = 1/2 + 1/6.
Para fracções pares, a regra traduz-se em adicionar ao
denominador metade de si mesmo, por exemplo;
2/3 x 1/10 = 1/ (10 + 5) = 1/15
Actualmente, isto seria equivalente a, dado um numero par 2n,
2/3 x 1/2n = 1/3n = 1/ (n + 2n).
= Decomposição em fracções unitárias =
Na aritmética egípcia não se consideravam, nem eram
representáveis outras fracções senão 2/3 e as unitárias, assim se justificava a
escrita destas duas tabelas aqui apresentadas. Uma delas é referente às divisões de 2
por n, com n ímpar entre 3 (já vista acima) e 101, e a outra às divisões de n
por 10. Tabelas essas que eram destinadas a facilitar o trabalho de quem, por
exemplo, tinha de dividir os salários pelos trabalhadores, como aparece referido
várias vezes no Papiro de Rhind. Apesar de, para cada caso ser dada apenas uma
única decomposição, essa não é obviamente a única possivel, facto que advém da
forma como o escriba efectuou a divisão. De nota também a exactidão de todas as
decomposições.
Acerca da tabela de divisão de n por 10, não nos é indicado qual o processo utilizado para obter o resultado, apenas representa a decomposição em fracções unitárias, significando como em muitos exemplos do Papiro de Rhind que para dividir n broas de pão por 10 homens, a cada homem caberia uma parte igual às fracções representadas.
= Problemas de decomposição =
Em alguns problemas do Papiro de Rhind, 21-23,
pede-se para determinar a diferença de uma certa soma de números, expressos por
fracções unitárias, para a unidade.
Habitualmente, estes problemas são resolvidos, tomando um
número de referência que seja múltiplo comum dos denominadores das
fracções dadas.
Em seguida, escrevia-se apenas os numeradores das fracções,
depois de reduzidas ao denominador comum. Depois, eram somados e calculada a
diferença dessa soma para com o número de referência. Isto é, em tudo semelhante
ao que se faz actualmente. Considere-se, por exemplo, o problema 22 do Papiro de Rhind, em
que se pede para complementar 2/3 + 1/30 para 1, tomando como referência 30;
2/3 + 1/30 + a/30 = 1
(20 + 1 + a) - 30 = 0 <=> a = 9.
Daqui teriamos a resposta 9/30 como complementação, mas como para os antigos egipcios tal não tinha significado, procurar-se-ia como operar 30 para obter 9,
1 30
\10 \3
\5 \6
-------------------- total
1/5 + 1/10 9
Deste modo é obtida a
resposta: completa-se 2/3 + 1/30 para 1, somando 1/5 + 1/10.
São problemas que, normalmente, se podem exprimir em equações do primeiro grau, salvo raras excepções, se traduzem em equações de segundo grau.
= Determinação de uma quantidade desconhecida =
Era exposto o problema, dadas certas
partes de uma quantidade, a sua soma perfazia um total dado. Para determinar
essa quantidade era usado o Método da Falsa Posição, que consistia em atribuir
uma solução inicial ao problema e ir corrigindo até se chegar à solução
correcta.
Como exemplo, no Papiro de Rhind, o problema 26 diz ;
*Uma quantidade e
a sua quarta parte somadas perfazem 15.
*Qual é a quantidade?
Isto equivale a;
x + (1/4)x = 15
Atribuindo o valor 4 a x, obtemos 4 + 1 = 5, se agora multiplicarmos por 3 obtém-se 15. Era desta forma que se calculavam as quantidades. É de assinalar a presença que este método, cujo nome foi dado nos finais do séc XV, foi tendo um pouco por todo o mundo e durante vários séculos.
No caso da solução ter de ser corrigida com fracções, reduzia-se sempre à situação de fracções unitárias. Se no caso anterior a expressão fosse igual a 16, teríamos 5 x 16/5 explicitando 16/5 em fracções unitárias.
= Progressões Aritméticas e Geométricas =
Nas progressões aritméticas expostas nos papiros figuram equações de primeiro grau e o método de resolução usado assemelha-se ao da Falsa Posição. A questão que se pôe é de como o escriba teria chegado às razões que indica e para isso Gillings supõe que tenha sido através de ensaios e erros. Ele teria considerado várias progressões e nelas teria comparado os resultados, o que depois levaria à utilização do Método da Falsa Posição. Veja-se um exemplo na secção de Problemas e Resoluções.
Sobre as progressões geométricas, pode-se pressupor que era do conhecimento do escriba do Papiro de Rhind, a propriedade básica destas progressões:
1 + r + r2 + ... + rn = (rn - 1) / (r - 1)
Esta suposição
baseia-se no problema 79 do Papiro de Rhind e nas duas tabelas aí apresentadas.
Numa coluna estão as potências de 7 até 7^5 que são depois somadas, e na coluna
ao lado a multiplicaçao de 7 por 2801, que aponta para a tal soma das potências.
A forma como a multiplicação era efectuada é o que leva a sugerir o conhecimento
da fórmula acima referida, como se pode ver na secção de Problemas e Resoluções.
Muitos dos problemas que foram decifrados mostram cálculos de áreas, volumes ou medições relativas à inclinação das pirâmides. Alguns dos resultados são surpreendentes, como por exemplo a aproximação do valor p ou fórmulas de volumes, mas passemos a explicar então esses resultados.
Como primeira nota, o seked era uma medida usada pelos egípcios que, de certa
forma, determinava a inclinação de um dos lados da pirâmide. O seked correspondia
ao comprimento, medido na horizontal, a partir da face da pirâmide, relativo à
altura de um côvado, outra unidade de medida utilizada na altura. Sendo a
pirâmide construída em camadas a partir da base, a inclinação era conservada.
Surge em alguns problemas o cálculo da área de um círculo, que como nós temos presente hoje em dia é igual a pr^2, sendo r o raio correspondente. No problema 50 do Papiro de Rhind, no qual se calcula a área de um círculo, a expressão final surge como (8/9 x d )^2, sendo d o diâmetro do círculo. Ora, transformando isto em,
(8/9 x d )^2 = (16/9)^2 x (d / 2)^2 =>
=> (16 / 9)^2 = 3.1605
o que não pode deixar de ser uma boa aproximação para o valor p = 3.1415 que conhecemos actualmente, tendo em conta que foram os egípcios os primeiros a apresentar cálculos matemáticos, embora relativamente a esta situação desconheçamos qual a raciocínio por detrás dos cálculos no papiro.
Outro aspecto interessante e surpreendente, é relativo ao volume de uma pirâmide truncada. Supondo uma base quadrada de lado a, com altura h e os lados do quadrado do topo a medir b, sabemos hoje que o volume de tal objecto é-nos dado pela fórmula:
V = 1/3 x h x (a^2 + ab + b^2)
No problema 14 do
Papiro de Moscovo, as instruções ali escritas correspondem exactamente à
utilização desta fórmula. Mais uma vez, não se sabe como o escriba obteve tal
conhecimento.
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Dadas as
explicações acima de como era pensada e executada a matemática no Antigo Egipto
e, principalmente, pela forma como ela nos é apresentada, através de cálculos e
instruções para execução, talvez se possa pôr em questâo se era ou não, ou se
pode ser considerada como matéria científica.
Se é verdade que não nos são dadas provas ou justificações
dos passos executados ou dos métodos utilizados, também é verdade que assentam
numa base científica ou pelo menos, num racíocinio mais elaborado que a simples
constatação e observação de factos.
Talvez seja prudente não tomar nenhuma posição relativamente
a essa questão, pois a descoberta dos papiros pode ser considerada recente. Dada a incerteza de possuírmos todos os textos matemáticos da época e até
a sua escassez seria incauto afirmar certezas. Mas, por enquanto temos de
reconhecer o devido crédito de um povo que, sendo dos primeiros a desenvolver a
escrita, foi capaz de desenvolver aplicações matemáticas com uma precisão
invejável.