Problema 1
Questão: Divida 1 pão por 10 homens.
Resolução: Cada homem recebe 1/10 de pão. (Ver tabela de n/10)
Ahmes comprova a solução do problema multiplicando 1/10 por 10:
| 1 | 1/10 | |
|
* |
2 | 1/5 |
| 4 | 1/3 1/15 | |
|
* |
8 | 2/3 1/10 1/30 |
| 10 | 1/5 2/3 1/10 1/30 |
Como, pelo método da multiplicação, obtemos 2+8=10 e 1/5 2/3 1/10 1/30 = 1, a solução está correcta pois 10 * 1/10 =1.
Problema 9
Questão: Multiplique 1/2 + 1/14 por 1 + 1/2 + 1/4
Resolução: Para multiplicar 1/2 + 1/14 por 1 + 1/2 + 1/4 o escriba multiplica cada fracção da primeira expressão por cada uma da segunda.
|
* |
1 | 1/2 1/14 |
| * | 1/2 | 1/4 1/28 |
|
* |
1/4 | 1/8 1/56 |
| 1 1/2 1/4 | 1/2 1/4 1/8 1/14 1/28 1/56 |
Como 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/14 + 1/28 + 1/56 = 1, o produto da multiplicação inicial é 1. O método utilizado para somar é o seguinte: soma-se 1/14+1/28+1/56 (= 1/8) e logo a soma inicial fica reduzida a 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8. Depois, utilizando o método da redução temos:
1 1/4 1/8 1/8 = 1/2 1/4 1/4 = 1/2 1/2 = 1
Este problema é um exemplo simples do método directo da multiplicação de fracções, pois não é mais do que a aplicação da divisão por dois, tão bem manejada pelos egípcios, e os resultados parciais são fracções simples.
Problema 14
Questão: Multiplique 1/28 * (1 + 1/2 + 1/4)
Resolução: O método utilizado para resolver este problema é o dos números vermelhos. Inicialmente, aplica-se o método normal obtendo-se:
| 1 | 1/28 |
| 1/2 | 1/56 |
| 1/4 | 1/112 |
Agora, ao invés de somar as fracções da direita, selecciona-se um número tal que ao multiplicá-lo por estas se obtém outras mais simples. Neste caso selecciona-se o 28 e o raciocino é o seguinte:
1/28 de 28 é igual a 1
1/56 de 28 é igual a 1/2
1/112 de 28 é igual a 1/4
Resta saber quantas partes de 28 são iguais a 1 + 1/2 + 1/4, isto é, qual o número pelo qual se tem de multiplicar 1 + 1/2 + 1/4 para obter 28, que é o mesmo que dividir 28 por 1 +1/2 + 1/4. Para tal, faz-se a seguinte tabela:
| 1 | 1 1/2 1/4 |
| 2 | 3 1/2 |
| 4 | 7 |
| 8 | 14 |
| 16 | 28 |
e o resultado é 16. Logo 1/16 partes de 28 é precisamente 1 + 1/2 + 1/4.
Actualmente, o método dos "números vermelhos" pode parecer um pouco confuso e complicado, mas devemos ter em conta que, ainda que os egípcios considerassem as fracções uma expressão como a obtida no primeiro exemplo, muito fácil, uma do tipo 1/28 + 1/56 + 1/112 não era considerada manejável.
Problema 21
Questão: Qual a quantidade que falta a 2/3 +1/15 para obter a unidade.
Resolução: Ahmes toma como número vermelho o 15 ( procurando a simplificação) e aplica
2/3 de 15 é igual a 10
1/15 de 15 é igual a 1
Então, temos que 2/3 de 15 mais 1/15 de 15 é 11. Como 15, o número vermelho, supera 11 em quatro unidades temos que calcular o número de partes de 15 que dá um total de 4, ou seja, dividir 4 por 15.
| 1 | 15 | |
| 1/10 | 1 1/2 | |
|
* |
1/5 | 3 |
|
* |
1/15 | 1 |
| 1/5 1/15 | 4 |
A quantidade que
falta a 2/3 +1/15 é 1/5+1/15.
Problema 26
Questão: Uma quantidade mais um 1/4 dela dá 15. Qual é a quantidade?
Resolução: Actualmente, o problema resume-se à equação linear de primeira ordem: x + x/4 = 15. Em seguida, mostraremos os passos presentes no papiro seguidos de um comentário.
"Tome-se o 4 e então, se 1/4 dele dá 1 o total é igual a 1". Ahmes começa, neste caso, por dar uma estimativa para x, atribuindo-lhe o valor 4 de modo a anular a fracção. Depois obtém 4 + 1 =5.
"Divida-se 15 por 5 e dá 3". Para encontrar o valor real tem que se encontrar o número N que multiplicado pelo valor estimado dê 15, ou seja, 5*N = 15, N=15/5 = 3.
"Multiplique-se 3 por 4 e obtém-se 12". O resultado pretendido é o produto da multiplicação de N pela estimativa de x.
Logo a quantidade pretendida é 12.
Problema 30
Questão: Qual a quantidade da qual 2/3 + 1/10 fazem 10?
Resolução: Neste problema resolve-se a equação: x + (2/3)x + (1/2)x + (1/7)x = 37 pelo método de factorização.
Para se resolver esta questão factoriza-se o primeiro membro e depois divide-se 37 por ( 1 + 2/3 + 1/2 + 1/7), obtendo-se um valor de x igual a 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.
Problema 31
Questão: Uma quantidade, os seus 2/3, a sua metade e o seu 1/7 adicionados dão 33. Qual é a quantidade?
Resolução: Este não é
um problema difícil e, provavelmente, constitui uma demonstração do método de
divisão. O escriba resolve o problema dividindo 33 por 1 + 2/3 + 1/2 + 1/7 e
obtém 14 + 1/4 + 1/56 + 1/97 + 1/194 + 1/388 + 1/679 + 1/776.
Problema 50
Questão: Um campo circular tem 9 jet de diâmetro. Qual é a sua área?
Resolução: A mais antiga referência ao problema da quadratura do circulo consta no Papiro de Rhind.
A área de um circulo de diâmetro 9 é calculada subtraindo-se ao diâmetro a sua nona parte, sendo 8 o resultado. Depois multiplica-se 8 por 8 que dá 64. Então a área pretendida é 64. Aparentemente, o escriba egípcio utiliza a formula A=(d - d/9)^2 = (64/81)d^2. Isto significa que toma p /4 = 64/81, ou seja, p = 3,16049... Esta é uma boa aproximação do valor real 3.1415926...
Ao resolver este problema, os egípcios devem ter feito uma analogia entre o circulo e um octógono inscrito num quadrado, tomando a área do circulo aproximadamente igual à de um octógono.
Problema 51
Questão: Qual é a área de um triângulo de lado 10 jet e base 4 jet ?
Resolução: Segundo a resolução apresentada, Ahmes supunha que o triângulo era isósceles e, dividindo-o em duas partes iguais pela altura, formava uma rectângulo. A resolução apresentada é a seguinte: toma-se metade de 4, para formar um rectângulo, obtendo-se 2. Multiplica-se 10 por 2 e o resultado 20 é a área procurada.
Problema 52
Questão: Qual é a área de um triângulo truncado de 20 jet de lado, 6 jet de base e 4 jet de linha de secção?
Resolução: Ahmes resolve da seguinte maneira: soma a base do triângulo com a linha de secção, obtendo o valor 10. Para obter um rectângulo, divide 10 por 2 obtendo 5. De seguida, multiplica 5 por 20 e obtém a área desejada: 100.
Deduz-se, observando a resolução, que o triângulo truncado é um trapézio
isósceles que se obtém através do corte do triângulo segundo uma linha paralela
à base.
Problema 56
Questão: Qual é o seqt de uma pirâmide de 250 cubit de altura e 360 cubit de lado?
Resolução:
1º Calcula-se metade de 360 que é 180.
2º Descobre-se o número que multiplicado por 250 dá 180.
Esse número é 1/2+1/5+1/50.
3º Um cubit são sete palmos. Multiplica-se, agora, 7 por
1/2+1/5+1/50, que dá 5+1/25. Logo, o seqt é 5+1/25 palmos por meth.
Questão: Divida 100 pães por 5 homens, de modo que a partilha seja feita numa progressão aritmética e que a soma das duas menores partes seja 1/7 da somas das três partes maiores. Qual é a diferença entre as partes?
Resolução: Este problema utiliza simultaneamente séries aritméticas e equações.
Consideremos a diferença 5 1/2.
Agora consideremos as partes 1, 6 1/2, 12, 17 1/2, 23 que totalizam 60.
Como temos 100 pães, multipliquemos cada parte por 100/60=1 2/3. Obtém-se assim as partes 1 2/3, 10 2/3 1/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.
Então a diferença entre as partes é 9 1/6.
Uma resolução mais actual seria:
Seja d a diferença e s o termo inicial. Então, 20 =100/5 = s + d(5-1)/2 = s+2d. A soma das dois termos menores é 1/7 da soma dos três maiores, logo 3s +9d = 7x(2s + d) = 14s + 7d. Portanto, 2d = 11s e 20 = s+2d = 12s. Logo, s = 1 + 1/2 + 1/6 e 2d = 11s = 18 + 1/3. Assim, d = 9 + 1/6. Os homens recebem respectivamente 1 + 1/2 + 1/6, 10 + 1/2 + 1/3, 20, 29 + 1/6 e 38 + 1/3. O total é 100.
Problema 63
Questão: Divida 700 pães por quatro homens na proporção dos números 2/3, 1/2, 1/3 e 1/4.Qual a parte de cada homem?
Resolução: Primeiro, faz-se a seguinte soma 2/3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 7/4. Depois, efectua-se a divisão de 700 por 7/4 que dá 400. Multiplica-se este número por cada uma das fracções: 2/3, 1/2, 1/3, 1/4, obtendo-se a respectiva quantidade de pão a cada homem.
Problema 64
Questão: Divida 10 heqat de cereal por 10 homens de modo que a diferença comum seja 1/8 de um heqat de cereal.
Solução:
Calculando 10/10 obtemos 1 (a que os egípcios chamavam valor médio). Portanto, o
número total de diferenças é 10-1 = 9. Calcule-se metade da diferença comum;
obtém-se 1/16. Multiplicando 9 por 1/16 encontramos o valor 1/2+1/16. Adicionando
este resultado ao valor médio obtemos a parcela maior: 1+1/2+1/16. Subtraindo a
diferença comum, 1/8, nove vezes calculamos a parcela menor: 1/4+1/8+1/16.
Portanto as parcelas serão 1/4+1/8+1/16, 1/2+1/16, 1/2+1/8+1/16, 1/2+1/4+1/16,
1/2+1/4+1/8+1/16, 1+1/16, 1+1/8+1/16, 1+1/4+1/16, 1+1/4+1/8+1/16 e 1+1/2+1/16,
que perfazem o total de 10.
Problema 79
É-nos dado, 7 casas, 49 gatos, 343 ratos, 2401 espigas de trigo e 16807 heqat de trigo. Supõe-se que Ahmes se referia a um problema, possivelmente já conhecido, em que cada casa há 7 gatos, cada gato comeu 7 ratos, cada rato comeu 7 espigas de trigo, cada espiga produziu 7 heqat de trigo e se pretende saber a soma de todos as coisas enumeradas. Notemos a familiaridade com a canção infantil conhecida:
| "As I was going to St. Ives, I met a man with seven wives; Every wife had seven sacks, Every sack had seven cats, Every cat had seven kits. Kits, cats, sacks, and wives, How many were going to St. Ives?" |
"Ia eu para St. Ives, Conheci um homem com 7 esposas, Cada esposa tinha 7 sacos, Cada saco tem 7 gatos, Cada gato tem 7 gatinhos. Gatinhos, gatos, sacos, esposas, Quantos iam para St. Ives?" |
Resolução:
| Casas |
7 |
||
| Gatos |
49 |
||
| Ratos |
343 |
1 |
2801 |
| Espigas de trigo |
2401 |
2 |
5602 |
| Heqats de trigo |
16807 |
4 |
11204 |
| _________________ total |
________ |
_____ |
________ |
As primeira duas colunas dão a soma (na
última linha) dos cinco termos da progressão geométrica de razão sete a começar
em sete: 7+72+73+74+75. As duas
últimas colunas dão-nos o método egípcio de multiplicar 7 por 2801. Para um
arqueologista, a tabela acima e a relação entre as colunas poderá não ter
sentido. Contudo, para um matemático, a relação entre as duas colunas é óbvia
tendo em conta a fórmula para a soma dos primeiros n termos {1, r, r2,
..., rn} de uma série geométrica de razão n, cujo primeiro
termo é
1, que é dada por 1+r+r2+...+rn = (rn-1)/(r-1).
Tem-se 7 vezes este valor com r igual a sete e n igual a 4.
Portanto, 7x(74-1)/(7- 1) = 7x(16807 - 1)/6 = 7x 16806/6 = 7x2801
= 19607. Portanto, este problema exibe a fórmula da soma de uma série
geométrica.
Este problema é retirado do Papiro de
Berlim, e é relativo a uma equação de segundo grau, resolvida pelo Método
da Falsa Posição.
O problema diz respeito a um quadrado de área 100, que é
igual à soma das áreas de dois quadrados mais pequenos; o lado de um destes
quadrados é 1/2 + 1/4 do lado do outro. Pretende-se saber o lado de cada
um dos quadrados mais pequenos.
Resolução:
1º Toma-se sempre um quadrado de lado 1. Então, o lado do
outro é 1/2 + 1/4. Isto dá 1/2 + 1/16 para área do quadrado menor. Então os dois
quadrados juntos têm área de 1 + 1/2 + 1/16.
2º Toma-se a raiz quadrada de 1 + 1/2 + 1/16 côvados. É 1 +
1/4.
3º Toma-se a raiz quadrada de 100 côvados. É 10.
4º Divide-se este 10 por 1 + 1/4. Dá 8, o lado de um dos
quadrados.
5º Toma-se 1/2 + 1/4 de 8. Dá 6, o lado do outro quadrado.
Problema 69
Questão: 3+1/2 heqts de farinha são transformados em 80 pães. Descubra a quantidade de farinha em cada pão e o peso.
Resolução: Multipliquemos 3+1/2 por 320, pois num heqat existem 320 ro e pretende-se saber o número de ro em 3+1/2 .
1 há 320
2 há 640
1/2 há 160
Logo em 3+1/2
heqats existem 1120 ro.
Agora divide-se 1120 pelos 80 pães:
1 há 80
10 há 800
2 há 160
4 há 320
logo 1120 = 800+320 à 1120/80 = 10+4=14. Então tem-se 14 ro por cada pão.
Para determinar o peso de cada pão divide-se 80 por 3+1/2.
1 há 3+1/2
10 há 35
20 há 70
2 há 7
2/3 há 2+1/3
1/21 há 1/6
1/7 há 1/2
Como 70+7+2+1/3+1/6+1/2 = 80, tem-se que 80/(3+1/2) = 20+2+2/3+1/21+1/7 = 22+2/3+1/21+1/7. O peso é 22+2/3+1/21+1/7.
Problema 72
Questão: De 100 pães de peso 10 devem ser trocados por pães de peso 45. Quantos pães deste tipo é que haverá?
Resolução: Actualmente este
problema seria facilmente resolvido por uma regra de três simples. Contudo, a
resolução apresentada por Ahmes é bastante mais complicada.
Temos que 100 pães de peso 10 se obteriam a partir de 100/10 = 10 heqat de
farinha e 10 heqat de farinha produziriam 10x45 = 450 pães de peso 45.
Consideremos o excesso 45-10 = 35.
Divide-se 35 por 10 para obter o excesso por pão: 35/10 = 3+1/2.
Multiplica-se este valor por 100 obtendo-se 350, que é o excesso sobre os 100
pães.
Soma-se 100 a 350 e obtém-se 450 que é o resultado.
Nota: Todos os problemas apresentados foram retirados do Papiro de Rhind, salvo indicação em contrário.