I. Obtenção da área de um paralelogramo a partir da área de um rectângulo.

1. Desenha e recorta numa folha um rectângulo como mostramos na figura:

2. Recorta em duas partes A e B como indica a figura:

3. Desloca a peça B para a posição indicada na figura:

           O que podes concluir?

II. Obtenção da área de um triângulo a partir da área de um rectângulo.

1. Desenha e recorta numa folha um rectângulo como mostramos na figura:

2. Escolhe um ponto A num dos lados da base do rectângulo e desenha o triângulo [ABC]:

3. Traça a altura do triângulo.

4.Dá os mesmos nºs aos triângulos e recorta os Triângulos 1 e 4. Observa as figuras em questão e diz o que podes concluir?                                                                    

III. Obtenção da área de um trapézio a partir da área de um rectângulo.

1. Desenha e recorta um trapézio.

2. Traça o segmento de recta que une os pontos médios dos lados não paralelos, como indica a figura:

3. Corta pelo segmento dos pontos médios e roda a parte de cima do trapézio encostando esta parte à parte de baixo do trapézio. Assim como mostra a figura:

               O que obtiveste?

Tarefa 2

I. Construção de polígonos regulares

1. Constrói polígonos regulares, usando papel, régua e transferidor, com 3, 4, 5 e 6 lados, como mostram as figuras:

2. Determina a medida do comprimento de um dos lados de cada polígono.

3. Determina a medida de amplitude de um dos ângulos de cada polígono.

II. Polígonos formados pelos Pontos Médios

4. Marca o ponto médio de cada segmento em todos os polígonos.

5. Constrói os polígonos formados pelos segmentos que unem os pontos médios dos lados consecutivos.

6. Determina a medida do comprimento dos lados de cada novo polígono.

7. Determina a medida de amplitude dos ângulos de cada novo polígono.

8. Agora com os dados todos que tens preenche a tabela:

III. Serão os polígonos semelhantes?

9. Investiga se os novos polígonos que surgiram no interior de cada um são semelhantes aos polígonos originais. Justifica e calcula a razão de semelhança e preenche a última linha do quadro anterior.

Tarefa 3:

Ângulos internos de polígonos:

I. Repartição de polígonos regulares em triângulos

1. Divide cada um dos polígonos em triângulos, ligando um dos vértices com os outros.

    Completa a 1ª e a 2ª linha da tabela " Sequências em polígonos regulares".

II. Ângulos internos de polígonos regulares

2. Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é ...... completa a 3ª linha da tabela.

3. Dividindo a soma obtida em cada caso pelo número de ângulos obténs a amplitude de cada ângulo interno. Já podes completar agora a última linha da tabela.

III. Expressões com variáveis

4. Escreve uma expressão com a variável L para cada linha.

IV. Problemas

5. Calcula a amplitude do ângulo interno de um polígono regular de 8 lados.

6. E, qual será o polígono em que a amplitude dos ângulos internos é 144º.

I. À procura do Teorema de Pitágoras

1. Constrói um triângulo rectângulo [ABC] utilizando papel, régua e transferidor.

2. Nos lados do triângulo construa quadrados como mostra a figura:

3. Calcula a área dos três quadrados e vê se consegues estabelecer alguma relação.

II. Os diagramas mostram desenhos sobre os lados de um triângulo rectângulo [ABC]:

Diagrama A:

Diagrama B:

4. Verifica se obténs a mesma relação que encontraste em 3. O que podes concluir?

O tangram Chinês é um puzzle  famoso e muito popular. Consiste num quadrado decomposto em sete figuras geométricas conhecidas: Cinco triângulos, um quadrado, e um paralelogramo.

1. Com as peças do tangram (utilizar todas) que te demos constrói um quadrado.

 Ver resolução

          2. Observa a figura:

                                                                                                      Ver resolução

Com as peças do tangram tenta construir uma igual. E igualmente para as figuras que se seguem:

                                        Ver resolução                Ver resolução                     Ver resolução

3. Depois de construída a figura, calcula a sua área total, sabendo que a base do maior triângulo é dois.

4.  Seguidamente, calcula as áreas das várias figuras que constituem a tua figura e verifica que é igual à área total já calculada.

 Serão as abelhas matemáticas?

Porque é que os alvéolos das abelhas são hexagonais?

          As abelhas precisam de construir o máximo de alvéolos gastando o mínimo de cera, ou seja, precisam de construir alvéolos cuja forma tenha um perímetro pequeno mas uma área total maximizada. (Que se traduzirá numa maior quantidade de mel armazenada.)

Como as abelhas resolveram a situação:

Para poupar espaço tiveram de recorrer a figuras geométricas que se pudessem justapor, ou seja, quando encostadas umas às outras não deixam entre si espaços desperdiçados.

1)    Quais os polígonos regulares que encostados uns aos outros não deixam entre si espaços abertos?

Sugestão: Considera k o número de polígonos regulares de n lados, que se encontram no mesmo vértice, quando encostados uns aos outros no plano. Para que não haja espaços abertos, é necessário que a soma das amplitudes dos ângulos internos dos vários polígonos que se encontram no mesmo vértice, seja igual a 360º.

2)    Porque escolhem as abelhas os hexágonos e não os quadrados ou os triângulos?

Sugestão: Considere o perímetro fixo (p), e escreva as áreas em função p.

I. O tangram chinês é um puzzle famoso e muito popular.

    Consiste num quadrado composto por sete partes com a forma que se indica na figura seguinte:

1. Constrói, em cartolina, um tangram chinês e recorte as setes peças.

2. Obtém com as sete peças figuras como as seguintes:

                              Ver resolução                Ver resolução           Ver resolução

3. Utilizando as peças do tangram, indica:

  a) dois polígonos geometricamente iguais;

  b) dois polígonos semelhantes mas não geometricamente iguais.

4. Em matemática dizemos que duas figuras são equivalentes quando têm a mesma área. O que podes dizer acerca das 3 figuras obtidas em 2 ( atendendo à sua área)?

5. Tomando por unidade de área a área da peça C, indica a medida da área das peças A, B, D, E, F e G.

6. Utiliza a tua imaginação para criar figuras geométricas com as peças do tangram.

Tarefa 8

    Por certo que na tua infância, na escola ou com amigos, já te entretiveste a fazer cortes em papel e a brincar com os desenhos que obtinhas.

  Para explorares esta actividade vais precisar de uma tesoura e de muito papel!

A. Uma dobragem e dois cortes

1. Numa folha de papel dobrada ao meio corta triângulos equiláteros, isósceles e escalenos. Pega nos pedaços de papel que obtiveste, desdobra-os e diz quais as formas geométricas que têm.

2. Com apenas dois cortes, e se quiseres obter triângulos equiláteros, isósceles ou escalenos na folha de papel, que cortes deves fazer?

Faz um esboço que mostre os cortes que fizeste e comenta as tuas descobertas.

B. Mais dobragens e um só corte

Vais agora investigar o que acontece quando fazes mais do que uma dobragem mantendo ajustados os lados da folha de papel.

1. Com duas dobragens e com um corte que tipo de figuras obténs?

   De que maneira consegues obter um quadrado?

2. Agora com três dobragens, como mostra a figura abaixo, experimenta fazer a mesma investigação.

De que maneiras consegues obter um quadrado?

3. E com quatro dobragens?

4. Preenche a tabela:

   Explica a relação entre o número de dobragens e o número máximo de lados da figura.