O jardineiro da escola construiu um canteiro, com a ajuda de uma corda de dois metros de comprimento, que tem as pontas amarradas a duas estacas.

Escolheu uma zona do terreno e espetou uma das estacas em C. Então, com a corda sempre esticada foi deslocando a outra estaca, fazendo um sulco no terreno.

       No terreno ficou construída uma circunferência. O jardineiro desenhou no terreno um Lugar Geométrico.

Lugar Geométrico é o conjunto de todos os pontos, e apenas esses, que têm uma determinada propriedade comum.

Então a circunferência que o jardineiro desenhou é o conjunto dos pontos que estão à distância de dois metros dos ponto C.

Como é que se mede a distância?

No plano, a distância entre dois pontos mede-se:

Se os pontos A e B tiverem como coordenadas, respectivamente, (x1,y1) e (x2,y2), a distância entre eles é

 

 

No espaço, a distância entre dois pontos mede-se:

Se os pontos A e B tiverem como coordenadas, respectivamente, (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2), a distância entre eles é

 

Mas será que a distância entre dois pontos se mede sempre em linha recta?

Não!!! Na verdade, isso só acontece na Geometria Euclideana (que é a que tu conheces até agora) mas existem outras geometrias em que isso não acontece. Dois exemplos de geometrias nessas condições são a Geometria Esférica e a Geometria Hiperbólica.

 Quando estudamos a geometria sobre a esfera, o plano euclidiano (a que estás habituado) é substituído pela superfície esférica. Os pontos desta geometria são os pontos da superfície esférica e as figuras geométricas são traçadas sobre essa superfície. As rectas desta Geometria Esférica são as circunferências máximas da esfera (ou seja, as circunferências de raio máximo). Os triângulos e polígonos definem-se da maneira habitual.

Assim, na Geometria Esférica, como as rectas são circunferências máximas, a distância mede-se com arcos dessas circunferências.

Na Geometria Hiperbólica as linhas rectas parecem curvas. Aqui o Teorema de Pitágoras não é verdadeiro. As construções à escala são impossíveis, pois quando muda o tamanho, mudam também os ângulos. Por exemplo, quanto maior for a área de um triângulo, menores são os seus ângulos. Uma maneira de imaginares esta geometria é pensares que é a geometria de uma montanha, ou melhor ainda, de um vulcão.

Deste modo, a distância na Geometria é medida através das rectas desta geometria (que não são aquelas a que estás habituado, pois parecem curvas).

Para visualizares melhor estas geometrias, a figura abaixo mostra um exemplo do que se passa em cada uma delas com as rectas paralelas.

Geometria Euclideana, Geometria Hiperbólica e Geometria Esférica

Na figura da esquerda está representada a geometria Euclideana, onde por um ponto exterior a uma recta passa apenas uma paralela a essa recta.

Na figura do centro aparece a Geometria Hiperbólica, onde por um ponto exterior a uma recta passam infinitas paralelas à recta inicial.

Finalmente, na figura da direita, está representada a Geometria Esférica, em que por um ponto exterior a uma recta (circunferência máxima) não passa nenhuma paralela à recta inicial.