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Notas Históricas

As origens da trigonometria são incertas.
Já no antigo Egipto é possível encontrar problemas relacionados com a construção das pirâmides e que envolvem a co-tangente referidos no Papiro de Rhind e uma notável tábua de secantes na tábua babilónica cuneiforme de Plimpton 332 algo semelhantes ás actuais tábuas trigonométricas.
Desde os tempos de Hamurábi, - sexto rei ( 1793-1759 a.C. ) da primeira dinastia da Babilónia. – que os babilónios possuíam um sistema numérico e uma geometria. Eles adoptaram um sistema de numeração em que tanto a base como o modo de ler era variável e os sinais para representar os números cuneiformes, isto é, antigas escritas (dos Assírios, persas e medos) cujos caracteres têm a forma de cunha. Os babilónios empregaram sistemas decimais e fracções sexagesimais nas tabelas para calcular peso e volumes. Os astrólogos, que procuravam relacionar os acontecimentos diários com a posição dos astros, promoveram algum aperfeiçoamento empírico, estabelecendo regras operacionais e resolvendo alguns problemas aritméticos. São conhecidos vários documentos que contêm tábuas de multiplicação, de divisão, de quadrados e raízes quadradas, de cubos, de progressões aritméticas e geométricas e algumas tabelas particulares provavelmente empregues em cálculos especiais. O maior número que integra os documentos já decifrados é da ordem de 608. O sistema de fracções sexagésimais, foi passado à Grécia e posteriormente à Europa, sendo até hoje clara a sua influência, que se perpetuou através do hábito de medir o tempo e os ângulos.

O desenvolvimento da trigonometria está bastante ligado à astronomia. Os astrónomos babilónicos dos séculos IV e V a.C. obtiveram várias informações que foram transmitidas para os gregos, foi essa astronomia primitiva que deu origem à trigonometria esférica.

 Hipocrates de Chios (430  a.C.) é considerado o primeiro a estudar as relações entre o arco de circunferência e a corda correspondente criando, assim, a primeira antepassada das tábuas trigonométricas.

Pitágoras, (séc. VI a. C.) filósofo e matemático grego, nasceu na cidade de Samos, fundou uma escola em Crotona (colónia grega na península itálica), cujos princípios foram determinantes para evolução geral da matemática e da filosofia ocidental. A observação dos astros sugeriu-lhes a ideia de que uma ordem domina o universo. Nessa visão, também concluiu que a terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre seu eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades que cercam o pitagorismo devido ao carácter religioso e secreto da irmandade) refere-se às relações entre os lados do triângulo rectângulo, que consiste em provar que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Os egípcios já sabiam que um triângulo cujos lados são 3, 4, 5 tem ângulo recto, mas os pitagóricos foram os primeiros a conseguir uma prova da proposição geral.

Thales de Mileto (séc. VI a. C). viajava muito pelos centros antigos de conhecimento e deve ter obtido informações sobre astronomia e matemática, aprendendo geometria no Egipto e na Babilónia. Entrou em contacto, sob o governo de Nabucodonosor, com as primeiras tabelas e instrumentos astronómicos e diz-se que em 585 a.C. conseguiu predizer o eclipse solar que ocorreria nesse ano, assombrando os seus contemporâneos. Destacou-se também pelos seus conhecimentos de meteorologia. Discípulo dos egípcios e caldeus, recebeu o título "primeiro matemático verdadeiro”, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva. Determinou a altura das pirâmides do Egipto. Um resultado dos seus estudos que conhecemos hoje é um "Teorema de Thales" segundo o qual, um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo recto.

O grande cientista e inventor grego, Arquimedes (séc. III a.C.) viveu na cidade de Sicarusa, uma colónia grega situada na Sicília, Sul da Itália, adquiriu uma sólida formação em matemática e um grande interesse pela ciência. Descobriu as leis da alavanca e da roldana; essas descobertas levaram à construção de máquinas que podiam deslocar facilmente cargas pesadas: " Dêem-me um ponto de apoio e eu moverei o mundo", nesta frase referia-se à maneira pela qual uma alavanca permite um homem mover objectos muito mais pesados do que ele. Também descobriu um meio de determinar um valor mais exacto para o número π (a razão do comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro). Na sequência do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de uma circunferência, dado o respectivo raio, calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas.

Erastótenes (séc. III a.C.) conseguiu calcular a medida do raio da Terra.

O famoso astrónomo grego Hiparco (séc. II a.C.), considerado o pai da Astronomia, é também considerado o iniciador da Trigonometria. Influenciado pela Matemática babilónica, desenvolveu métodos  para a determinação de locais na superfície terrestre, introduziu o sistema de localização por latitude e longitude, dividiu o ecúmeno segundo zonas climáticas, criou um método de projecção estereográfica para a cartografia. Os babilónicos, acreditavam que a melhor base para realizar contagens era a base 60, pelo fato do número 60 ter muitos divisores (1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60), e poder ser facilmente decomposto num produto de factores, o que facilitava muito os cálculos, principalmente as divisões. Hiparco também escolheu um múltiplo de 60 ao dividir a circunferência. Cada uma das 360 partes iguais em que a circunferência foi dividida recebeu o nome de arco de 1 grau, cada arco de 1 grau foi dividido em 60 partes iguais e cada uma dessas partes recebeu o nome de arco de 1 minuto, cada arco de 1 minuto também foi dividido em 60 arcos de 1 segundo. Hiparco de Nicéia ganhou o direito de ser chamado "o pai da trigonometria" pois na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros que se ocupa da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, uma tábua de cordas.

Aristarco (sec. II a. c.) determinou a distância relativa da Terra ao Sol e da Terra à Lua.

Foram os gregos que pela primeira vez fizeram um estudo das relações entre ângulos (ou arcos) num círculo e os comprimentos que subentendem. Nas obras de Euclides já existiam teoremas equivalentes a leis ou fórmulas trigonométricas. Em Os Elementos é possível encontrar as leis do co-seno para ângulos obtusos e agudos, respectivamente, nas Proposições II.12 e II.13, porém enunciadas em linguagem geométrica.

Teon de Alexandria menciona um tratado de Cordas num círculo, em seis livros, escrito por Manelaus de Alexandria, que se perdeu assim como vários outros dos seus tratados. Felizmente o seu tratado Sphaerica (100 a.C.), em três livros, preservou-se numa versão árabe e é o primeiro a referir-se a triângulos esféricos.

No Livro I estabelece uma base teórica para estudo dos triângulos esféricos assim como Euclides fez para os triângulos planos, com teoremas usuais de congruência e teoremas sobre triângulos isósceles entre outros. Além disso, contém um teorema que não possui um análogo euclidiano “dois triângulos esféricos são congruentes quando os ângulos correspondentes são iguais” (ele não fazia distinção entre triângulos esféricos congruentes e simétricos). Estabelece-se também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo esférico é maior que 180°. O Livro II contém teoremas de interesse da astronomia e no livro III desenvolve-se a trigonometria esférica através da proposição conhecida como teorema de Manelaus.

Ptolomeu (séc. II), nasceu na cidade de Ptolomais, à beira do rio Nilo, defendeu o mundo geocêntrico (a Terra como centro do universo) que foi assim considerada durante cerca de 1500 anos! Era um observador e não um astrólogo de cadeira. Porém a mais influente e significativa obra trigonométrica da antiguidade foi a Syntaxis matematica, obra escrita por Ptolomeu que contém 13 livros. Este tratado é famoso por sua complexidade e elegância, e para distingui-lo de outros foi associado a ele o superlativo magister ou "o maior". Mais tarde na Arábia chamaram-no Almagesto, por designação da língua, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome.Na sua obra Almagesto, onde compilou os conhecimentos existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria, há uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos por ordem crescente, de 0º a 90º com incremento de 15”, e em função da metade do ângulo , o que é equivalente a uma tabela de seno. Ptolomeu procurou aplicar os conhecimentos obtidos de Geometria à Trigonometria e à Astronomia e estabeleceu várias identidades trigonométricas e ainda considerou três eixos rectangulares para fixar um ponto celeste.

No século VIII, houve importantes trabalhos de hindus que foram traduzidos para árabe e responsáveis pelas notáveis descobertas feitas pelos matemáticos árabes sobre a Trigonometria. De entre os árabes o destaque vai para Al’Bâttani  (850-920) cuja Astronomia era conhecida na Europa como Albategnius. No livro “O movimento das estrelas” podem encontrar-se fórmulas como  b=[a*sen(90º-A)] /senA ( em que A é um ângulo agudo num triângulo rectângulo, a é o cateto oposto a A e b é o cateto adjacente a A )  onde aparecem senA e sen(90º-A) que hoje se conhece como cosA. Um século mais tarde com Abu'l Wafa, que já conhecia bem a função tangente a igualdade anterior passa a ser escrita a=b*tgA. Este matemático é mais sistemático e provou fórmulas como as fórmulas da duplicação e bissecção do ângulo; usou as seis funções trigonométricas bem como as relações entre elas. Foi o primeiro matemático árabe a fazer avanços em trigonometria. Baseado nos dados que obteve pesquisando a matemática indiana, achou que era preciso criar mais 3 razões trigonométricas para calcular a órbita da lua com exactidão: a tangente, a secante e a co-secante. O matemático Abu Nasr Mansur Ibn Iraq (séc. X) contribuiu na trigonometria alterando o círculo trigonométrico, (no qual eram baseados os cálculos) de um círculo de raio 60 para um círculo de raio 1.o que facilitou os cálculos trigonométricos e alterou a trigonometria para sempre. Al-Jayyani foi o primeiro matemático a publicar um livro dedicado ao estudo da trigonometria, o qual tem uma importância histórica muito grande, já que os europeus o utilizaram como referência nos seus estudos durante muito tempo.

Bhaskara (séc. XII) nasceu na Índia. A sua maior contribuição para a Trigonometria foi Siddhantasiromani, dividido em duas partes: uma sobre matemática astronómica e outra sobre a esfera. Determinou um método detalhado para construir uma tabela de senos para qualquer ângulo. É interessante ressaltar que, apesar de haver trabalhado com equações de segundo grau e formulada uma expressão que envolvia raízes quadradas, o seu nome relacionado a esta fórmula, aparentemente, só acontece no Brasil, pois não encontramos esta referência na literatura internacional, pelo que, a nomenclatura "fórmula de Bhaskara" não é adequada, pois problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam quase quatro mil anos antes, em textos escritos pelos babilónios, nas tábuas cuneiformes.

Na Europa medieval, devido a razões de ordem político-religiosas a ciência pouco evoluiu. É no séc. XV que é construída a primeira tábua trigonométrica por um matemático alemão, nascido na Baviera, chamado Purback, porém, o primeiro tratado feito de maneira sistemática sobre a Trigonometria foi escrito pelo matemático alemão Johann Müller, também chamado Regiomontanus, denominado Tratado dos Triângulos, De triangulis Omnimodis Libri Quinque, em que fez uma introdução completa à Trigonometria e resolveu problemas de Geometria Plana e Esférica. A Trigonometria liberta-se da Astronomia e assume-se como ciência independente. Sabe-se que Regiomontanus foi discípulo de Purback.

No século XVI, Bartholomeo Ptiscus inventou o nome Trigonometria enquanto Copérnico e o seu aluno Rheticus estabeleceram o uso das seis funções trigonométricas e construíram tabelas de valores das mesmas segundo a ideia de que essas funções representam razões num triângulo rectângulo. O recurso sistemático ao círculo trigonométrico e a aplicação da Trigonometria à resolução de problemas algébricos é feita por Viète (séc. XVI ) que estabeleceu alguns resultados importantes e Albert Girard contribuiu com as abreviações sen, cos e tg para as razões trigonométricas.

W. Snell (séc. XVII), que é mais conhecido pela lei da refracção, por volta de 1600, a fim de obter coordenadas dos pontos de uma região na superfície da Terra, introduziu a ideia de triangulação. Snell usou uma pequena modificação da versão clássica de triangulação para realizar a primeira medida de meridiano da Terra.

Mais tarde Roberval (1602-1675) formula  problemas relacionados com o seno, que dão uma importante indicação de que a Trigonometria não é só cálculo e faz o primeiro esboço do gráfico de uma curva de seno.

No século XVIII foi grande o desenvolvimento da Trigonometria mas, as técnicas até então desenvolvidas, não tinham condições de atenuar o efeito dos inevitáveis erros de medida, o que acabava comprometendo a qualidade dos mapas de maior tamanho. Gauss, por volta de 1820, introduziu o tratamento dos erros de observação na Geodésia e na Topografia, aumentando em muito a exactidão do trabalho dessas disciplinas.

Euler (séc. XVIII ), ao usar sistematicamente o círculo trigonométrico de raio um introduziu o conceito de seno, co-seno e de tangente como números ou razões ou coordenadas de pontos e as notações actualmente utilizadas. Na sua obra Introductio, em 1748, estabeleceu o tratado analítico das funções trigonométricas

A ligação da trigonometria à Análise só é feita por Fourier (séc. XIX) como consequência do estudo dos movimentos periódicos por ele efectuado. Fourier foi aluno de Monge e de Lagrande e foi professor na Escola Politécnica de Paris. Participou na aventura napoleónica no Egipto, durante a qual começou a compilar elementos para a Descrição do Egipto. Quando regressou a França publicou o livro Teoria Analítica do Calor que teve um papel importante em toda a Matemática sendo identificado como um grande poema matemático. Do estudo das funções periódicas surgiram afirmações tais como: “Qualquer função periódica f, de frequência N pode ser considerada como soma de funções sinusoidais de frequência N,2N, ... ,” e estas somas  de termos infinitos são hoje conhecidas por Séries de Fourier.

  A Trigonometria teve ainda um papel importante no estudo dos números complexos, nas fórmulas de Euler e ainda no estudo de fenómenos de natureza periódica.

  Actualmente a trigonometria não se limita a estudar os triângulos. Encontramos aplicações na mecânica, electricidade, acústica, música, astronomia, engenharia, medicina, enfim, em muitos outros campos da actividade humana. Essas aplicações envolvem conceitos que dificilmente lembram os triângulos que deram origem à trigonometria:

A necessidade e o interesse destas determinações levou à invenção de instrumentos famosos. Podes consultar Aplicações.