COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

     A forma trigonométrica de um complexo z é

z = ρ ( cos θ+ i senθ ) = ρ cis θ

em que ρ = |z | e  θ = arg z.

     Arg z, argumento de um complexo não nulo, é qualquer das amplitudes do ângulo orientado definido pelo semi-eixo real positivo e pelo vector imagem de z. Portanto, z tem infinitos argumentos

arg z = θ +2kπ , k∊ ℤ

sendo θ a medida, em radianos, de uma amplitude do ângulo.

     Exemplos de argumentos:

              Ø Arg (1 + i ) = π/4

              Ø Arg ( -1 – i ) = (5/4) π       ( ou (-3/4) π)

              Ø Arg ( 5 )= 0

              Ø Arg ( -5 )= π

              Ø Arg ( i ) = π/2

              Ø Arg ( -i ) = ( 3/2 ) π          (ou – π/2 )

     Se z = 0 , arg z é indeterminado. 

    Exemplos de complexos na forma trigonométrica

    Ø1 = cis 0

    Øi = cis π/2

    Ø-1 = cis π

    Ø-i =  cis (- π/2)

    Ø1+i = 2 cis  π/4

    Ø1-i = 2 cis (- π/4)

    Ø-1+i = 2 cis ( 3/4 ) π

    Ø-1-i = 2 cis ((-3/4) π)

     Convém então saber como podemos obter números complexos na forma trigonométrica quando estão na forma algébrica, e vice-versa.

     Sendo z = x + y i, temos x = ρ cos θ e y = ρ senθ e quando a ¹ 0, tg θ = b/a

COMO PASSAR DA FORMA ALGÉBRICA À FORMA TRIGONOMÉTRICA

            Vamos considerar o exemplo Queremos escrever z na forma .

            Temos    e  

            Assim z na forma trigonométrica fica

COMO PASSAR DA FORMA TRIGONOMÉTRICA À FORMA ALGÉBRICA

   Consideremos  . Temos

           Então , na forma algébrica .

    Conclusão:

          Nesta situação basta termos em atenção que cisq = cosq + isenq e determinar o seno e o co-seno do ângulo.

     Mas nem sempre é necessária a mudança de forma  de um número complexo para realizarmos algumas operações.

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