Para os pitagóricos o número dominava o Universo. Usavam-se
números inteiros ou fraccionários para explicar as questões práticas e teóricas
da vida do Homem.
Como consequência do teorema de Pitágoras, descobriram que
existiam segmentos, como a diagonal de um quadrado de lado 1, para os quais não
havia números que representassem os seus comprimentos. Atribuíram tal facto a
uma falha de Deus e entre eles decidiram não divulgar o problema com que se
tinham deparado.
Só um século mais tarde é que os homens cultos da época
tiveram conhecimento de tal falha e a filosofia dos pitagóricos começou a cair
em descrédito. Como era possível existir um segmento e não existir um número
que representasse o seu comprimento?
Alguns séculos mais tarde este problema foi resolvido e
admitiram-se novos números, como por exemplo √2.
São números que não são inteiros nem fraccionários e portanto que
não são racionais.
√2 = 1,4142135.......
√3 = 1,7320508.......
π = 3,1415926535.......
e =
são dízimas
infinitas não periódicas (não há
qualquer algarismo ou sequência de algarismos que se repita periodicamente)
Também existem números irracionais com raízes superiores a 2. Falamos das raízes de índice n.
O
conjunto dos números reais é o conjunto formado por todos os números
racionais e todos os irracionais e é representado por ℝ.
ℕ, ℤ e ℚ são subconjuntos de
ℝ. Os conjuntos ℚ e R têm algo de
muito especial relativamente a ℕ e ℤ:
Øentre dois números de ℕ ou ℤ não se encontra nenhum elemento dos
conjuntos ℚ ou ℝ ;
Øentre dois quaisquer elementos de ℚ ou ℝ, por mais próximos que
estejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.
Temos ainda que, ao passarmos do conjunto ℚ para o conjunto ℝ, as regras de cálculo e as propriedades das operações mantêm-se válidas.
Além disso podemos também falar da recta real, da ordenação em ℝ e de intervalos nos reais.
