São da forma
n√am =a m/n
Exemplos:
5√2-3
= 2-3/5
35 =3 15/3 = 3 √(3 15)
2 –1/4 =
(1/2)1/4 = 4√(1/2) ou 2-1/4 =4√2-1
É uma propriedade útil para a simplificação de radicais e a redução de radicais ao mesmo índice. São da forma,
n√a m = np√a mp
com a>0, n e p ∈ℕ, m/n e { (mp)/( np) } ∈ ℚ
Exemplo:
5 2/3 = 5(2´4)/(3´4) então 3√52 = (3´4)√5(2´4)
Aqui, os radicais têm que ter o mesmo índice, sendo da forma
n√a´n√b = n√(ab)
com a, b ∈ ℝ+ e n∈ℕ.
Exemplos:
√2´√3´√5 = √(2´3)´√5 = √6´√5 = √(6´5) = √30
√2´4√3 = 2´2√22 ´4√3 = 4√4´ 4√3 = 4√12
Tal como na multiplicação, também os radicais aqui têm de ter o mesmo índice. Assim, são da forma
n√a ¸n√b = n√ (a/b)
com a, b ∈ℝ+ e n∈ℕ.
Exemplo:
3√6 ¸ 3√3´3√2 = 3√ (6/3)´3√2 = 3√2´3√2 = 3√4
Adição de expressões com radicais
Só é possível simplificar a soma de expressões com radicais se estes tiverem o mesmo índice e o mesmo radicando. As operações de simplificação de radicais são: divisão do índice do radical e o expoente do radicando pelo seu máximo divisor comum ou passagem para fora do radical todos os factores possíveis.
Exemplos:
√2-√5+3√2+7√5 = √2+3√2-√5+7√5 = (1+3) √2+(-1+7)√5 = 4√2+6√5
3√5+29√53 = 3√5 + 23√5 = (1+2) 3√5 = 3 3√5
pois 29√53 = 29:3√53:3 =23√5
5√18+2√2 = 15√2 + 2√2 = (15+2)√2 = 17√2
pois 5√18 = 5√(32 ´2) = 5√32´√2 = 5´3√2 = 15√2
Passagem de um factor para fora de um radical
Decompõe-se o radicando num produto de factores primos e aplica-se a propriedade da multiplicação de radicais. Para passar um factor para dentro do radical eleva-se este ao índice do radical.
Exemplos:
√108
108| 2
54 | 2
27| 3
9| 3
3| 3
1|
então √108 = √ (22´32´3) = √22´√33´√3 = 2´3´√3 = 6√3
2√5 = √(22´5) = √20
33√52 = 3√(33´52) = 3√(27´25) = 3√675
A potência de um radical tem a forma (n√a)p = n√(ap) com a>o e n, p ∈ℕ.
Exemplos:
(6√2)5 = 6√25
É da forma n√(p√a )= np√a com a>o e n, p ∈ℕ
Exemplos:
5√(√3) = 2´5√3 = 10√3
Racionalização do termo de uma fracção
Racionalizamos os denominadores escrevendo uma fracção equivalente sem o símbolo de radical no denominador. Existem dois casos:
1ºcaso – o termo da fracção a racionalizar é constituído por um único número ou por um produto.
Aqui multiplica-se o numerador e o denominador por um radical de modo a obtermos n√(an) = a no termo da fracção onde pretendemos eliminar o radical.
Exemplos:
3/√3 = (3√3)/(√3√3) = ( 3√3)/3 = √3
2/(5√2) = (2√2)/(5√2√2) = ( 2√2)/(5´2) = √ 2/5
2ºcaso – o termo da fracção a racionalizar é constituído por uma soma algébrica de radicais quadráticos.
Aqui multiplica-se o numerador e o denominador por uma expressão tal que o termo da fracção onde queremos eliminar o ou os radicais seja um produto equivalente a uma diferença de quadrados.
Exemplos:
(2+√3)/(2-√3) = {(2+√3)´(2+√3)}/ {(2-√3)´(2+√3)} =
(4+3+4√3)/(22-(√3)2) = (7+4√3)/(4-3) = 7+4√3