Operações com Radicais

 

        Radicais como potências de expoente fraccionário         

             São da forma nam =a m/n , com a>0, n e m/n ∈ℚ  

                Exemplos:

                        5√2-3 = 2-3/5

                        35 =3 15/3 = 3 √(3 15)       

                       2 –1/4 = (1/2)1/4 = 4√(1/2) ou 2-1/4 =4√2-1

 

         Radicais equivalentes

           É uma propriedade útil para a simplificação de radicais e a redução de radicais ao mesmo índice. São da forma,

  n√a m = np√a mp  

com a>0, n e p ∈ℕ, m/n e { (mp)/( np) } ∈ ℚ

 

            Exemplo:

                     5 2/3 = 5(2´4)/(3´4) então 3√52 = (3´4)√5(2´4)

 

         Multiplicação de  radicais

         Aqui, os radicais têm que ter o mesmo índice, sendo da forma  

n√a´n√b = n√(ab)

  com a, b + e n∈ℕ.

 

            Exemplos:

                     √2´√3´√5 = √(2´3)´√5 = √6´√5 = √(6´5) = √30

                     √2´4√3 = 2´2√22 ´4√3 = 4√4´ 4√3 = 4√12

 

          Divisão de radicais    

           Tal como na multiplicação, também os radicais aqui  têm de ter o mesmo índice. Assim, são da forma

  na ¸nb = n (a/b)

  com a, b ∈ℝ+ e n∈ℕ.

 

            Exemplo:

                    3√6 ¸ 3√3´3√2 = 3√ (6/3)´3√2 = 3√2´3√2 = 3√4

 

         Adição de expressões com radicais     

            Só é possível simplificar a soma de expressões com radicais se estes tiverem o mesmo índice e o mesmo radicando. As operações de simplificação de radicais são: divisão do índice do radical e o expoente do radicando pelo seu máximo divisor comum ou passagem para fora do radical todos os factores possíveis.

 

            Exemplos:

                    √2-√5+3√2+7√5 = √2+3√2-√5+7√5 = (1+3) √2+(-1+7)√5 = 4√2+6√5

                    3√5+29√53 = 3√5 + 23√5  = (1+2) 3√5  = 3 3√5 

                           pois 29√53 = 29:3√53:3 =23√5 

                     5√18+2√2 = 15√2 + 2√2 = (15+2)√2 = 17√2

                           pois 5√18 = 5√(32 ´2) = 5√32´√2 = 5´3√2 = 15√2

                              

 

          Passagem de um  factor para fora de um radical  

             Decompõe-se o radicando num produto de factores primos e aplica-se a propriedade da multiplicação de radicais. Para passar um factor para dentro do radical eleva-se este ao índice do radical.

 

           Exemplos:

                    √108

108|   2

  54 |  2

  27|  3

    9| 3

     3| 3

  1|

então  √108 = √ (22´32´3) = √22´√33´√3 = 2´3´√3 = 6√3

 

                    2√5 = √(22´5) = √20

                    33√52 = 3√(33´52) = 3√(27´25) = 3√675

 

         Potência de um radical

              A potência de um radical tem a forma  (na)p = n√(ap) com a>o e n, p ∈ℕ.

 

                  Exemplos:

                           (62)5 = 625

 

          Radical de um radical

              É da forma n√(pa )= npa com a>o e n, p ∈ℕ

 

                  Exemplos:

                          5√(√3) = 2´53 = 103

 

          Racionalização do termo de uma fracção

             Racionalizamos os denominadores escrevendo uma fracção equivalente sem o símbolo de radical no denominador. Existem dois casos:

             1ºcaso – o termo da fracção a racionalizar é constituído por um único número ou por um produto.

                Aqui  multiplica-se  o numerador e o denominador por um radical de modo a obtermos n√(an) = a no termo da fracção onde pretendemos eliminar o radical.

 

                      Exemplos:

                              3/√3 = (33)/(33) = ( 33)/3 = 3

                              2/(5√2) = (2√2)/(5√2√2) = ( 2√2)/(5´2) = √ 2/5

 

             2ºcaso – o termo da fracção a racionalizar é constituído por uma soma algébrica de radicais quadráticos.

             Aqui multiplica-se o numerador e o denominador por uma expressão tal que o termo da fracção onde queremos eliminar o ou os radicais seja um produto equivalente a uma diferença de quadrados.

 

                   Exemplos:

                           (2+√3)/(2-√3) = {(2+3)´(2+3)}/ {(2-3)´(2+3)} =     

                                                         (4+3+43)/(22-(3)2) = (7+43)/(4-3) = 7+43

 

 

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