O NÚMERO √2 É UM NÚMERO IRRACIONAL

     O número√ 2 aparece ligado à medida do comprimento de um segmento de recta.

     Considerando um quadrado cujo lado é a unidade, pelo Teorema de Pitágoras conclui-se que√ 2 é a medida da diagonal desse quadrado.  

                               X² =1² +1²

                                                       X² = 2

                                                        X = √2  

√2 não é um número racional, não é inteiro nem fraccionário.

     Vamos demonstrar por redução ao absurdo (vamos admitir como verdadeiro o contrário do que afirmamos e utilizando raciocínios consecutivos chegar a um absurdo ou contradição).

                        Suponhamos que √2 é um número racional.

                        Então √2  é um número inteiro ou fraccionário.

                        Como √2 = 1.4142135...., concluímos que não é inteiro.

            Se for fraccionário, existem dois números inteiros e positivos a e b, primos entre si, de modo que a/b=√2.

            A fracção a/b é irredutível, porque a e b são primos entre si. Como  a/b=√2, elevando ao quadrado, temos a²/b²=2. Então a²  é divisível por b² . Mas esta situação é impossível ou absurda, pois a²/b² = aa/bb e se a não é divisível por b, também a² não é divisível por b^2.

                Portanto √2 não é inteiro nem fraccionário.

            Logo √2 é um número irracional.

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