O SÍMBOLO i

 AMPLIAÇÃO DE  ℝ PARA ℭ

     Número complexo é toda a expressão que pode escrever-se na forma x+yi com x, y ∊ ℝ e i² = -1.

          Exemplos:

                   3√( –1) = 3i   (x = 0)

                   √2√ (–1) =√ 2i = √i2   (x = 0)

                   2-3√( –1) = 2-3i

                   √2+ (1/2) √(-1) =√ 2+ (1/2)i =√ 2+(i/2)

                   13 = 13+0i   (pois zero é absorvente, 0*i = i)

                   -58 = -58 +0i

     O conjunto dos números complexos vai então ser uma ampliação do conjunto dos números reais,

ℂ = ℝ ∪ { imaginários }

em que números imaginários são representados por expressões da forma apresentada anteriormente.

     A representação de um número complexo na forma

z = x + yi

com x, y ∊ ℝ e i²  = -1, diz-se a forma algébrica do complexo  e

x é a parte real de z, x = Re (z)

              y é a parte imaginária de z, y = Im (z)

i é a unidade imaginária.

          Se x = 0 e y ≠ 0, o número complexo diz-se imaginário puro.

          Se y = 0, o número complexo é real.

     Assim como nos outros conjuntos de números , os números complexos possuem propriedades de adição, diferença, multiplicação e divisão. Podemos ainda considerar a igualdade de dois números complexos, determinar o módulo  e o conjugado de um número complexo.

ADIÇÃO EM ℂ

( x₁ + y₁i ) + ( x₂ + y₂i ) = ( x₁ + x₂ ) + ( y₁ + y₂ )i

com x₁, y₁, x₂, y₂ ∈ ℝ.

             Exemplos:

                        ( 2 + 3i )+ ( 5 - 7i ) = ( 2 + 5 ) + ( 3 - 7) i  =  7 - 4i

( 8 + ( 1/2 ) i ) + ( -6 - (1/2) i ) = ( 8 – 6 ) +  ( 1/2 - 1/2 )i  = 2 + 0i = 2

O simétrico de um número complexo x + yi, com x, y ∈ ℝ, é

- x - yi

 DIFERENÇA EM ℂ

             ( x₁ + y₁i ) - ( x₂ + y₂i ) = ( x₁ - x₂ ) + ( y₁ - y₂ )i

com x₁, y₁, x₂, y₂ ∈ ℝ.

             Exemplo:

                       (5+2i)- (5-3i) = (5-5)+(2+3)i = 5i

 MULTIPLICAÇÃO EM ℂ

( x₁ + y₁i )´( x₂ + y₂i ) = ( x₁´x₂ - y₁´y₂ ) + ( x₁´y₂ + y₁´x₂ )i

com x₁, y₁, x₂, y₂ ∈ ℝ.

 DIVISÃO EM ℂ

com x₁, y₁, x₂, y₂ ∈ ℝ.

   Na  prática pode calcular-se o quociente de dois complexos multiplicando os dois termos da fracção pelo conjugado do denominador.

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