Forma Algébrica 

   Para compreendermos melhor os elementos do novo conjunto vamos resolver a equação .

   Em ℝ não existe nenhum número que elevado ao quadrado dê -1.

Então como resolver este problema?

Surge a necessidade de criar um novo conjunto de números que englobe os reais, mas que permita resolver este problema.

     Se chamarmos  então  ,  assim  i  passa a ser um número a que damos o nome de “imaginário”. Por exemplo:  

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    A todo o elemento z, que possa ser escrito na forma , denominada por forma algébrica, com a,b ∈ ℝ  e  , dá-se o nome de número complexo.

    Ao número  “a”  chamamos parte real do complexo z e representamo-lo por Re(z)=a, ao número “b” chamamos coeficiente da parte imaginária e representamo-lo por Im(z)=b, a  i  dá-se o nome de unidade imaginária.                       

    Se a = 0 então z = bi diz-se um imaginário puro. Se b = 0 então z = a ∈ ℝ.

  O módulo de um número complexo é o real  e representa-se por  . Por exemplo :  

·       

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     Tanto os reais como os imaginários são números complexos!

  Operações com números complexos

    Consideremos os complexos ,   e  .

     Eles dizem-se iguais se e só se  a = c  e  b = d.

     A soma entre  z  e  w  é definida por :

                        .

   Por exemplo:  

·       

     Na soma em ℂ, tal como em ℝ, verificam-se as seguintes propriedades:

  Comutativa:     

   Associativa:   

   Elemento neutro:      

   Simétrico: é o simétrico de   visto que,  

           .

   A subtracção entre  w  e  z  é definida por :

                       (c + di) - (a + bi) = (c - a) + (d - b)i

  Por exemplo:  

·        (2 + 3i) - (5 - 7i) = - 3 + 10i

  O produto entre  z  e  w  é definido por :

                             (a + bi) *(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i .

     Por exemplo:  

·        (2 + 3i) *(5 - 7i) = (10 + 21) + (-14 + 15)i = 31 + i

  No produto em ℂ, tal como em ℝ, verificam-se as seguintes propriedades :

     Comutativa: (a + bi) *(c + di) = (c + di) *(a + bi)

    Associativa: [ (a + bi) *(c + di) ] *(e + fi) = (a + bi) *[ (c + di) *(e + fi) ]

    Elemento neutro: (1 + 0i) *(a + bi) = (a + bi) *(1 + 0i) = a + bi  

    Inverso:    é o inverso de  a + bi  visto que,

         ( ) (a + bi) = 1 + 0i.

    Distributiva: (a+bi)*[(c+di)+(e+fi)]=(a+bi)*(c+di)+(a+bi)*(e+fi)

    O conjugado de a+bi é a-bi, têm a mesma parte real e partes imaginárias simétricas. Sendo z=a+bi o conjugado de z representa-se por .

   Por exemplo:  

·        = 2-3i

     Algumas propriedades dos conjugados:

       ® z+ =(a+bi)*(a-bi)=2a  

       ® z* =|z|^2

  A soma e o produto de dois complexos conjugados são números reais.

A divisão entre z e w é definida por:

                       , com w≠0.

  Por exemplo:  

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