Introdução Histórica

 Ao longo dos séculos na História da Matemática, o aparecimento de cada novo tipo de números (números fraccionários, negativos, irracionais,...) foi saudado por reacções de grande perplexidade.

Vamos conhecer agora um novo episódio dessa evolução: a transição do conjunto dos números reais para o dos números complexos.

De facto, um número real é uma distância medida em termos de uma dada unidade com um sentido que lhe é conferido pelo sinal. Para os números reais as únicas direcções possíveis são esquerda e direita ao longo de uma dada linha. No mesmo espírito, podem definir-se os números complexos como distâncias ao longo de direcções arbitrárias num plano fixado. Assim um número complexo é um ponto do plano no qual existe um segmento de recta orientado particular, OU, de comprimento unitário. Neste plano define-se i = √-1 como sendo o ponto I, distando uma unidade de O na direcção que faz um ângulo de 90º com OU (ver figura). Os pontos O, U e I são chamados 0, 1 e i, respectivamente.

Mas como surgiram os números complexos?

Após séculos de lentos progressos na evolução do saber matemático, surge em Bolonha, no séc.XVI, um grupo brilhante de matemáticos, mestres desta famosa universidade que atraia estudantes de toda a Europa. Deve-se a esse grupo a descoberta, na altura verdadeiramente sensacional, de uma fórmula resolvente para equações de 3º grau. Os nomes de Scipione del Ferro, Tartaglia (de Bolonha) e Cardano (de Milão) estão ligados à descoberta e divulgação desta fórmula que foi publicada por Cardano, em 1545, no livro “Ars Magna” .

Mas havia aspectos muito obscuros  no comportamento da referida fórmula, pois esta podia fornecer raízes reais exactas apesar de ter números negativos sob certos radicais quadráticos.

 Perante esta situação paradoxal, Bombelli, professor em Bolonha, depois de Tartaglia, não hesitou em considerar os radicais do tipo √(-a) ( com a>0 ) como representativos de números de nova espécie, a que chamou quantidades silvestres, e em combiná-los com números reais obtendo assim os números actualmente denominados complexos.

Os números imaginários surgiram assim naturalmente mesmo indo contra a vontade dos matemáticos .

Em 1702, Leibniz considerava os números imaginários como algo eternamente sem sentido, uma vez que, de forma incompreensível, conduziam a resultados úteis e dizia mesmo que “os números imaginários são o refúgio delicado e admirável do espírito divino, quase uma coisa anfíbia entre o ser e o não ser” .

 Só no séc.XVIII a doutrina sobre números imaginários se desenvolveu e começou a ganhar estrutura , com De Moivre, Euler e D’Alembert.

Euler	De Moivre

É de notar que Euler, ao estabelecer a célebre fórmula

    e ^ix = cosx + isenx

revela a íntima relação entre diferentes funções da Análise Elementar e reconhece o papel fundamental dos números imaginários na teoria das funções.

 Da fórmula anterior resulta a igualdade, e^iΠ + 1 = 0, estabelecida por Euler em 1748, que é uma relação interessante envolvendo cinco números notáveis: e, i, Π, 1, 0.

Passaram ainda mais 100 anos até que a “Teoria dos Números Complexos” ficasse completamente constituída, graças sobretudo a Cauchy e Hamilton. Só no séc.XIX, quando Argand e Gauss apresentaram formas de representação gráfica destes números e das suas operações, a aceitação da teoria se generalizou.

 A construção do sistema numérico deu assim origem a conjuntos de referência cada vez mais amplos, ℂ, ℝ, ℚ, ℤ, ℕ, cada um deles contendo o seguinte.

   ℕ- números naturais

   ℤ- números inteiros

   ℚ- números racionais                                                                          

   ℝ- números reais

   ℂ- números complexos