Forma Trigonométrica

Partindo da definição de módulo do complexo e da sua representação no plano podemos reescrever o número complexo noutra forma a que damos o nome de: Forma Trigonométrica. Esta nova representação do número complexo permite obter mais facilmente os valores de expressões tais como: , ,,que na  forma algébrica seria muito trabalhoso.

Módulo

Dado z = a+bi, o módulo de z é o número real não negativo |z|

Se chamarmos P ao ponto (a,b), geometricamente o módulo exprime:

  1. A distância de P à origem O do referencial

  2. A norma do vector OP

P é  imagem pontual de z=a+bi e o P é a imagem vectorial  de z=a+bi..

Define-se argumento do complexo z=a+bi não nulo a qualquer das amplitudes do ângulo orientado definido pelo semi-eixo real positivo  e pelo vector imagem de z. 

 

Então z tem infinitos argumentos visto que ao par ordenado (   ) corresponde a uma família de amplitudes em radianos θ+2kΠ com k ℤ, sendo θ uma dessas amplitudes quando k = 0, arg(z) = θ+2kΠ, kℤ.

Geometricamente, vamos ter

 

 

 

 

 

 

 

 

Escrevendo a e b em função do cosθ e senθ:

                   

                        

Dizemos que o número complexo z = a + bi está escrito na forma trigonométrica se

                         z = ρcosθ + iρsenθ com |z| = ρ e arg(z) = θ , ou numa

                        forma simplificada, z = ρcisθ em que cisθ = cosθ + isenθ.

 

Passar da forma algébrica para a forma trigonométrica

Seja z = z + yi. Determinam-se ρ e θ por meio da relação:

                          e   

e escolhendo o quadrante do afixo de z correspondente.

 

Passar da forma trigonométrica para a forma algébrica

Seja z = ρcisθ determina-se a e b por  meio das relações

                                  x = ρcosθ  e  y = ρsenθ

 

Propriedades:

  Igualdade entre 2 números complexos 

  Conjugado de um número complexo

  Simétrico de um número complexo

 

Operações na forma trigonométrica:

  Multiplicação

  Divisão

  Potenciação: Fórmula de De Moivre

  Radiciação

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