Problemas e Exercícios

Ficam aqui alguns exercícios para treinarem o que aprenderam e se prepararem para os desafios que temos a seguir!

1 - Resolva, em  ℂ , a equação  .

2 - Calcule  ℝ de modo que:

a)      seja um imaginário puro

b)      seja um número real

c)       seja um imaginário puro

3 - Sendo , e , calcule, escrevendo o resultado na forma algébrica.

a)     

b)     

c)      

d)     

e)      

4 - Calcule x e y tais que:

5 - Quantas soluções possui a equação , na variável z ?

  A) nenhuma                                   C) duas

  B) uma                                          D) três

6 - Considere a função f: : ℂ  ® ℂ, definida por

 Então f(2+i) é igual a :

  A)                                             C)  

  B)                                                D)

7 - Seja z um número complexo. Se    é um número real, então podemos afirmar:

A) z≠0 e Re(z)≥0                            C)

B) Im(z)=0 ou                      D) z é necessariamente um número real

8 - Mostre que    é uma solução da equação .

9 - Se x=2-i é uma raiz da equação   , então:

  A)                                     C)

  B)                                    D)

10 - Determine, aplicando a definição, a raiz quadrada de:

a.      z=-5

b.      z=9i

c.       z=8+6i

11 - Determine os números complexos z, tais que:

a.     

b.     

12 - Considere em  ℂ o número complexo   cuja imagem no plano de Argand é o ponto C.

     Prove analiticamente que o triângulo [ABC] é isósceles, sendo A e B as

     imagens, no plano, das raízes da equação

13 - Represente na forma trigonométrica os seguintes números complexos:

a.      -3

b.      2i

c.       3+4i

14 - Represente na forma trigonométrica:

a.     

b.     

c.      

15 - Seja z=-3(sinx-icosx) , com   ℝ ; um argumento de z é:

A)                                             C)

B)                                                D)

16 - Sendo    com , escreva na forma trigonométrica:

a.     

b.     

17 - Dados ,

a.      Calcule, na forma algébrica e na forma trigonométrica, z1+z2.

b.      Mostre que as imagens de z1, z2 e z1+z2, são vértices de um triângulo equilátero.

18 - Escreva na forma algébrica o número complexo   .

19 - Calcule e represente geometricamente:

a.     

b.     

20 - Mostre, aplicando a fórmula de Moivre, que:

a.     

b.     

21 - No plano de Argand, a todo o ponto P, imagem de z=x+yi (z≠i), associa-se um

          ponto  M  imagem de .

A condição que devem verificar x e y para que  M  descreva o eixo imaginário é:  

A)                                       C)   

B)                                 D)

Desafios para os mais corajosos!!!

I - Seja w um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica, no plano complexo, está no primeiro quadrante e pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares.

           Seja o conjugado de w.

          Na figura estão representadas, no plano complexo, as imagens

          geométricas de quatro números complexos: z₁, z_2, z₃ e z₄.

           Qual deles pode ser igual a ?

a) z₁            b)  z₂             c) z₃             d) z₄ .

II - Em ℂ, conjunto dos números complexos, seja w = 2 cis(Π/3).

a) Sem recorrer à calculadora, verifique que é um imaginário puro.

b) No plano complexo, a imagem geométrica de w é um dos cinco vértices do pentágono regular representado na figura. Este pentágono está inscrito numa circunferência centrada na origem do referencial. Defina, por meio de uma condição em ℂ, a região sombreada, excluindo a fronteira.

III - Na figura está representado, no campo complexo, um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro na origem e raio 1. Um dos vértices do heptágono pertence ao eixo imaginário.

            Os vértices do heptágono são, para um certo número natural n, as

            imagens geométricas das raízes de índice n de um nº complexo z.

            Qual é o valor de z?

a) 1+i             b) 1-i             c) i             d) -i

IV -  Em ℂ, considere: z = ρcis(Π/3) com ρ pertencente a ℝ+ e w=2iz.

a) Determine, na forma trigonométrica, as raízes quadradas de z/|z|.

b) Sejam A e B as imagens geométricas, no plano complexo, de z e de w, respectivemente. Seja O a origem do referencial. Sabendo que a área do triângulo [OAB] é igual a 16, determine, na forma algébrica, o número complexo z.

V - Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do conjunto {z ℂ: |z+1| = |z-i| e 2 ≤ Im(z)≤4}?

VI -  Considere, no plano complexo, o conjunto representado pela figura.

            A circunferência tem raio 2 e é tangente aos eixos.

            A recta r contém a origem do referencial e o centro da

            circunferência.

            Qual das condições seguintes, definidas em ℂ, define a região

            sombreada, incluindo a fronteira?

a)

b)

c)

d)