Exercícios Resolvidos

Deixamos aqui alguns exercícios com resolução para verem como é interessante e divertido aprender  a trabalhar com estes novos conceitos.

Sabe-se que i é raiz do polinómio complexo: P(z) = z4 - 2z3 + 6z2 - 2z + 5 . Determine as outras raízes do polinómio e decomponha-o em factores do primeiro grau em z.

Resolução:

P(z) = z⁴ - 2z³ + 6z² - 2z + 5.

Se i é raiz então o seu conjugado, -i, também é raiz. Aplicando a Regra de Ruffini vem:

Então P(z) = (z - i) (z + i) (z² - 2z +5)

Usando a Fórmula Resolvente encontram as raízes do polinómio z² - 2z +5:

z = 1 + 2i e z = 1 - 2i.

Então P(z) = (z - i) (z + i) (z - 1 - 2i) (z - 1 + 2i).

Represente na forma algébrica:

1. z₁ = 2cisΠ

2. z₂ = 3cis(-Π/3)

Resolução:

1. Z₁ = 2cisΠ <=> Z₁ = 2(cosΠ + isenΠ) <=> Z₁ = 2 (-1 + i*0) <=> Z₁ = -2

2. Z₂ = 3cis(-Π/3) <=> Z₂ = 3(cos(-Π/3) + isen(-Π/3)) <=> Z₂ = 3(1/2 + i(-(√3)/2)) <=> Z₂ = 3/2 - i(3√3)/2

Sendo z1 = 2cis(Π/3), escreva na forma trigonométrica o seu conjugado.

Resolução:

Se z₁ = r₁cis(θ); = r₁cis(-θ)

Logo  z₁ = 2cis(Π/3)  ;   = 2cis(-Π/3).

Represente no Plano de Argand o conjunto de pontos definido pela condição:    |z-2i| ≤ 2  e Im(z+3i) ≤ 6.

Resolução:

A condição |z-2i|≤2 define um círculo de raio 2 e centro em z₀=2i.

A condição Im(z+3i)≤6 define um semi-plano.

Seja z=x+yi

Im(z+3i)≤6 <=>Im(x+yi + 3i)≤6 <=>Im(x+(y + 3)i)≤6 <=>y+3≤6 <=>y≤3

O semi-plano é definido pela condição y≤3.

O conjunto de pontos definido pela condição está representada a cor na figura.

Ufa!!! Acabaram...