Hilbert

David Hilbert


Born: 23 Jan 1862 in Königsberg, Prussia (now Kaliningrad, Russia)
Died: 14 Feb 1943 in Göttingen, Germany



 

David Hilbert   ¾    matemático alemão, principal filósofo de sua geração e representante mais ilustre da tendência axiomática, nasceu em Königsberg no dia 23 de janeiro de 1862. O seu pai era Otto Hilbert, um juiz de cidade, que gozava de uma posição muito respeitável em uma cidade pequena e sua mãe uma apaixonada pelas ciências, tanto que se interessou por filosofia e astronomia e sua fascinação foi através dos números primos. 

Seus estudos básicos foram na Universidade de Königsberg onde ele estudava idiomas, principalmente, o latim, pois era muito jovem e sua mãe o aconselhava que se dedicasse a algo mais fácil, porém, prazeroso. 

Durante um semestre, ele visitou a Universidade de Heidelberg para assistir a conferências sobre equações diferenciais com o conferencista Leonard Fuchs.

Em 1882, Hermann Minkowski, um estudante com apenas dezessete anos e que estudava na mesma universidade de Hilbert, ganhou o prestigioso prémio Grand Prix des Sciences Mathématiques des Académie des Paris.

Em 1883, depois que Heinrich Weber  ¾    colaborador de Richard Dedekind na teoria de funções algébricas  ¾    professor na Universidade de Königsberg e que Hilbert era seu aluno, viajou, Ferdinand Lindemann foi designado para ser o seu sucessor. A influência de Lindemann causou em Hilbert um interesse eloquente pela teoria dos invariantes.

Em 1884, Hilbert deu os primeiros passos de sua carreira  ¾   juntamente com Minkowski que tornou-se seu amigo  ¾    terminando, nesta universidade, a sua dissertação inaugural, sob a supervisão de Lindemann, com a tese intitulada  " Über  invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen "  recebendo o título de Doutorado  - Ph.D - Doctor Philosophie Human - em 1885. Nesse mesmo ano, defendeu publicamente duas teses recebendo o grau de Doutor em Filosofia. Adolf Hurwitz, professor assistente da referida universidade desde 1884, sugeriu a Hilbert que visitasse a Europa para conhecer os grandes matemáticos da actualidade. Depois de uma breve visita a Felix Klein, em Leipzig, ele foi a Paris onde se encontrou com Henri Poincaré. Em seguida, foi para Berlim estudar com Leopold Kronecker, um professor muito rígido em suas convicções. Posteriormente, Hilbert retornou a Königsberg e, após ser aprovado em outro exame público, passou a leccionar, de 1886 a 1892, na qualidade de Privadozent - conferencista ou professor assistente ( professor que recebe uma pequena remuneração ). Em virtude de viver de uma remuneração muito pequena, ele decidiu fazer outra viagem de estudo que, também, tinha por finalidade, conhecer os vinte e um maiores matemáticos da época. Nessa viagem conheceu, em Erlanger, o matemático alemão Paul Gordan, que o chamavam de  " o rei dos invariantes " em que foi apresentado o seguinte problema:

Existe uma base finita para expressar um sistema infinito dos invariantes ?

Seguindo sua viagem, ele foi para Göttingen e lá conheceu Karl Weierstrass, Schwartz e, mais uma vez, visitou Klein e Kronecker, retornando, imediatamente, para Königsberg, pois o seu desejo era solucionar o problema apresentado por Gordan e, em 1888, ele produziu uma prova de existência para o problema. Com esta solução, tornaria o primeiro triunfo matemático alcançado por ele. Porém, em virtude da rigidez de Kronecker e Gordan nas suas convicções eles se recusaram a aceitar a prova apresentada. 

Por outro lado, o que mais Hilbert precisava era o apoio de um cientista mais experiente e mais velho, tanto que apareceu Klein e analisando os seus trabalhos, convidou-o para Göttingen com o objetivo de ensiná-lo. Em 1892, Hilbert inventou uma prova da construção do problema de Gordan que o convenceu. Sobre o trabalho de Hilbert, Gordan disse:

" Das ist nicht Mathematik. Ist de Das Theologie ! "
" Isso não é matemática, é teologia ! "

Em junho de 1892, Hurwitz  tornou-se um professor do Swiss Federal Institute of Technology em Zurich e Hilbert foi nomeado Extraordinarius  -  professor associado  -  em Königsberg. No dia 12 de outubro, Hilbert casou-se com a sua prima segunda, Käthe Jerosch e no dia 11 de agosto de 1893, nasceu o seu primeiro e único filho, Franz. No ano do nascimento de seu filho, Hilbert é promovido a Ordinarius  -  professor titular  - em Königsberg  onde permaneceu no cargo até 1895. Alguns semanas depois, Hilbert e Minkowski foram convidados pela Sociedade matemática alemã a escrever uma pesquisa sobre a teoria dos números. Esta honra, provavelmente, foi dada à Hilbert por causa das recentes, mais directas provas  dos números reais transcendentes   ' e ' (Autor da demonstração foi Charles Hermite em 1873 e, posteriormente foi grandemente simplificada por Hilbert) e  p ( pi ) (Autor da prova foi Ferdinand Lindemann em 1882). Foi decidido que Hilbert pesquisaria sobre a teoria dos números algébricos,  enquanto que Minkowski trabalharia nos aspectos geométricos da teoria dos números. Embora Minkowski nunca tivesse terminado sua pesquisa, o livro de David Hilbert, intitulado " Zahlbericht  ", era, de acordo com o examinador, " uma verdadeira jóia de literatura " matemática. Antes do livro ser publicado, porém, Hilbert recebeu um telegrama importante de Felix Klein. Ele foi promovido em 1895 ao cargo de professor titular em Göttingen, o maior centro renovado de matemática do mundo, a universidade que tinha amoldado um grande número de teoristas como Carl Friedrich Gauss. Para os matemáticos do  século XX , isto não estava longe de acontecer. As maiores mentes matemáticas da época, faculdades e estudantes, tinham-se aglomerado em Göttingen e Klein soube que Hilbert faria uma adição esplêndida.

Hilbert, ao se transferir, por volta de 1895, para Göttingen inicia seus estudos acerca dos números algébricos. Os trabalhos anteriores, sobretudo os de Gauss, Dirichlet, Kummer, Kronecker e Richard Dedekind, haviam dado contorno à noção-chave para a resolução dos problemas que a teoria colocava   ¾   a noção de Ideal.

A prova do Problema de Gordan conduziu, Hilbert, a um dos teoremas mais fundamentais da álgebra, tornando-o um matemático de primeira linha. O teorema diz o seguinte:  

" Todo subconjunto de um anel polinomial de variáveis
 independentes tem uma base ideal finita ".

Nesse campo ele formula as leis gerais da teoria, unifica os resultados até então obtidos e introduz novas noções. Desenvolveu, uma forma para o símbolo de Adrien - Marie Legendre e a ideia de uma norma de p-adic. em que ele definiu como sendo um inteiro no campo quadrático Q que corresponde à norma de um inteiro que satisfaz o módulo de Q para qualquer p. Generalizou este símbolo para que (a,Q/p) tenha o valor +1, se 1, é uma norma de p-adic e se for -1, não é uma norma de p-adic. Hilbert achou que o símbolo * é multiplicativo e significa que (a,Q/p)*(b,Q/p) = (ab,Q/p). Além disso, ele começou a explorar as relações entre teoria dos números e as funções modulares, como, também, demonstrou a transcendência de p e e de uma forma mais elegante e questionou a transcendência sobre que só foi demonstrado em 1934 quando, Gelfond e Schneider, trabalhando independentemente,  demonstraram que:

" Se a e b são números algébricos e se b é irracional, então ab é transcendente ".

Em 1899, Hilbert publicou a obra intitulada  " Grundlagen der Geometrie  " ( Fundamentos da Geometria ) através da qual não se limitou a expor de modo rigoroso a geometria euclidiana, mas, unificar e correlacionar, sob o prisma de um só princípio norteador, o da dedução a partir de premissas claramente explicitadas. Assim sendo, ele inaugurou toda uma série de pesquisas acerca da independência mútua dos vários axiomas, contribuindo assim, para o estabelecimento dos fundamentos formalísticos da matemática. Ao expor os fundamentos da geometria, ele percebeu que nem todos os termos podem ser definidos e por esta razão iniciou sua Geometria com três objectos não definidos - ponto, recta e plano - e seis relações não definidas - estar sobre, estar em, estar entre, ser congruente, ser paralelo e ser contínuo -, formulando vinte e um postulados geométricos conhecidos como Axiomas de Hilbert, os quais eram consistentes, ou seja, nenhum axioma sobrepôs o outro, e completo, pois, esse conjunto de axiomas expressava toda a geometria. A Teoria dos Conjuntos passou a invadir a Geometria num grau crescente de generalização e abstracção, tornando-a um conjunto muito mais completo e abstracto.

Vale ressaltar que, em 1794, já havia preocupação dos estudiosos quanto a uma nova formulação e organização no que diz respeito à geometria de Euclides, tanto que Legendre trabalhou incansavelmente lançando uma obra na qual formula várias proposições de Euclides, separa os teoremas dos problemas e simplifica as demonstrações.

Durante o período em que desenvolvia a axiomatização da geometria, Hilbert trabalhava, também, para o desenvolvimento de vários ramos da matemática e da física cujo objectivo era o de axiomatizar e de organizar toda a matemática. Inspirado a tentar desenvolver o programa e na tentativa de alcançar essa meta, ele ampliou as suas contribuições para a matemática em várias direcções, tais como: 

O teorema de 1890 que afirma o seguinte:

Qualquer ideal polinomial admite base finita;

Outras contribuições importantes são:

Os aperfeiçoamentos na teoria dos corpos algébricos;

O estudo de relações entre equações integrais e problemas de valor de contorno;

A solução para o problema de Dirichlet que narramos abaixo:

Determinar a função V(x,y,z), contínua e com derivadas parciais contínuas de primeira e segunda ordem em todos os pontos de uma dada região fechada R, tomando valores previamente fixados na fronteira de R.

Ademais, com o desenvolvimento do programa de pesquisa que foi conhecido como a 'escola' de formalista de matemática e, posteriormente, como o Programa de Hilbert, ele tinha esperança de de que tudo na matemática poderia e deveria ser provado a partir de axiomas básicos, cujo resultado deveria demonstrar conclusivamente os dois elementos mais importantes do sistema matemático. 

O primeiro elemento diz respeito ao espírito de completude, isto é, pelo menos em teoria, a matemática deveria ser capaz de responder as perguntas individuais e o segundo elemento  é o que trata do problema da inconsistência, ou seja, tendo-se mostrado que uma declaração é verdadeira por um método, não deveria ser possível, através de outro método, mostrar que ela é falsa.

Com essa finalidade, no verão do dia 08 de agosto de 1900, em Paris, Hilbert fez uma palestra no II Congresso Internacional de Matemática onde apresentou e propôs vinte e três problemas de vários ramos da matemática. Esses problemas  ¾   denominados Problemas de Paris   ¾    continuam a inspirar os matemáticos, pois, a maioria, permanece sem solução. Com o intuito de estimular os jovens matemáticos da época, ele disse em seu pronunciamento:

" Se quisermos ter uma ideia do desenvolvimento provável do 
conhecimento matemático no futuro imediato devemos fazer passar 
por nossas mentes as questões não resolvidas e olhar os problemas que a 
Ciência de hoje coloca e cujas soluções esperamos no futuro "

 

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O Problema de Cantor dos números cardinais contínuos;
A compatibilidade dos Axiomas Aritméticos; 
A igualdade dos volumes de dois Tetraedros de bases e alturas iguais;
Problema de linha recta como a menor distância entre dois pontos;
O conceito de grupo contínuo de transformações sem a suposição da diferenciabilidade da função que define o grupo; 
Tratamento matemático dos Axiomas de Físicas; 
Irracionalidade e transcendência de determinados números; 
Problemas dos números primos; 
Prova da lei mais geral de reciprocidade em qualquer campo dos números; 
Determinação da solubilidade da Equação de Diophantine; 
Formas quadráticas com qualquer coeficiente numérico algébrico; 
Extensão do Teorema de Kronecker em campo abeliano para qualquer domínio algébrico de racionalidade; 
Impossibilidade de solução da equação geral do 7º grau por meio de funções de só dois argumentos; 
Prova de determinados sistemas de funções completas(subanel) são finitos, ou seja, Prova de um subanel de geração finita; 
Fundamentos rigorosos do cálculo de enumeração de Franz Schubert; 
Problema de topologia de curvas algébricas e de superfícies; 
Expressões definidas de formas quadráticas;
Construindo espaço de poliedros congruentes; 
As soluções de problemas regulares sempre estão, necessariamente, no cálculo analítico de variações?;
 O problema geral de valores de limite; 
Prova da existência de equações diferenciais lineares que tem pontos singulares regulares;
Uniformização de relações analíticas por meio de funções automórficas; 
Desenvolvimento dos métodos do cálculo de variações.

A partir de 1900 a posição de Hilbert melhorou significativamente no mundo da matemática, tanto que várias instituições de diversos países convidaram-no para trabalhar. No entanto, ele preferiu continuar em Göttingen e, em 1902, a Universidade de Berlim ofereceu-o a cadeira de Leonard Fuchs. Hilbert aceitou, mas solicitou que se criasse uma nova cadeira a fim de que fosse ocupada pelo seu amigo Minkowski.

Em 1904, Hilbert apresentou uma importante contribuição para o mundo da ciência, formulando a teoria geral das equações integrais lineares cuja sistematização final ocorreu em 1912 e, em 1906, criou os fundamentos da teoria de funções com infinito números de variáveis. Estes dois trabalhos são considerados, no campo da análise, os mais notáveis visto que, ele inspirou-se na álgebra linear e sua tradução geométrica - nos espaços de dimensão finita - e estabeleceu os fundamentos de uma álgebra funcional, cujos elementos não são pontos da geometria e sim, das funções. Esta ideia conduziu Hilbert ao que hoje chamamos de espaço topológico. Ele aproveitou esta ideia e inseriu o espaço de dimensão infinita denominado, posteriormente, de Espaço de Hilbert e cuja definição passamos a expor:

Um espaço de Hilbert é um espaço vectorial H, munido de um produto interno, e completo em relação à norma definida por esse produto interno.

Este conceito foi muito útil em análise matemática e mecânica quântica, pois, com os resultados obtidos das equações integrais, Hilbert contribuiu para o desenvolvimento da física-matemática, especialmente, nas teorias cinética dos gases e das radiações. Estas pesquisas se estenderam até o ano de 1910, ficando, os seus alunos, encarregados de completar o referido programa desenvolvendo as aplicações e os métodos propostos por Hilbert.

Este espaço permite uma transposição dos resultados da álgebra elementar para a álgebra funcional. Ademais, ele idealizou o que se chama de Cubo de Hilbert cuja definição expomos:

Um cubo de Hilbert é o conjunto C das sequências de números reais 
x = (x1,.....xi ,....) |  0  £  xi  £ 1/i   "  i  Π N.

Em 1909, Hilbert apareceu com outra inovação na teoria dos números que foi a demonstração do chamado " Problema de Waring " que foi o ponto de partida de uma enorme área de pesquisa na teoria supracitada. Em 1707, Edmund Waring propôs o seguinte:

Todo inteiro pode ser escrito como uma soma de um número fixo de potências k-ésimas.

ou seja, pode-se demonstrar que todo inteiro é uma soma de quatro quadrados, nove cubos, dezanove quartas potências, etc.

Este teorema é uma generalização do famoso e clássico Teorema de Lagrange:

Todo inteiro positivo pode ser expresso como a soma de quadrados de quatro inteiros. 

Por exemplo, o número primo 2 pode ser escrito como 12 + 12 + 02 + 02, uma soma de quatro quadrados.

O trabalho de Hilbert era incansável, tanto que, a medida que pesquisava sobre um determinado assunto, sempre existia, paralelamente, um outro, como podemos constatar quando ao analisar o Teorema de Euclides que diz:

Existe um número infinito de números primos.

e os teoremas de Legendre, Gauss e Dirichlet chegou à conclusão que poderia ajudar a explicar o mistério do infinito criando um exemplo conhecido como o Hotel de Hilbert.

Em 1910, Hilbert recebeu o prestigioso Prêmio Bolyai que o reconheceu como o segundo maior matemático do mundo depois de Poincaré. O comité do prémio louvou o seu trabalho em matemática, mas foi neste momento em que sua atenção estava voltada para Física. Ele começou com teoria cinética dos gases e empregou os métodos que tinha desenvolvido em equações integrais. O que mais chamou a sua atenção foram as teorias da radiação, da gravitação e, posteriormente, a teoria da relatividade geral. Em virtude de Hilbert não ter domínio na física, ele contratou vários estudantes com o objectivo de transmitir os conhecimentos de que ele precisava. Hilbert sempre admirou a genialidade de Albert Einstein, contudo, ele fazia algumas restrições quanto aos seus conhecimentos matemáticos, tanto que, chegou a  comentar certa vez: 

" Todo menino nas ruas de Göttingen entende mais sobre geometria quadrimensional que  
Einstein. Ainda que, ele tenha elaborado o trabalho e não os matemáticos."

Em 1915, Hilbert, em seus estudos sobre a Teoria da Relatividade descobriu equações que o consagraria definitivamente como um dos maiores gênios de todos os tempos. No entanto, existiu uma verdadeira confusão quanto à data da entrega para apreciação do artigo contendo as referidas equações. Alguns historiadores através de documentos mostram que Hilbert submeteu o seu artigo no dia 20 de novembro de 1915, mas as provas das equações só foram enviadas no dia 06 de dezembro de 1915, enquanto que Einstein remeteu toda a documentação para apreciação no dia 02 de dezembro de 1915.

Nesse período havia uma discriminação institucionalizada muito grande contra às mulheres, tanto que, ao tomar conhecimento dos trabalhos apresentados, em meados de 1915, por Emmy Noether demonstrando um vasto conhecimento de matemática, Einstein a descreveu como sendo:

" O mais significante génio matemático criativo já produzido desde que as 
mulheres começaram a cursar os estudos superiores. "

Naquele mesmo ano, ela foi convidada por Klein e Hilbert para fazer parte das pesquisas no instituto de matemática, em Göttingen, onde eles sentiam que as suas pesquisas contribuíam significativamente para complementar os trabalhos deles na teoria de relatividade.

Aproveitaram a aceitação da jovem e a convidaram para fazer parte do quadro do quadro da Universidade de Göttingen na qualidade de " Privatdozent ". Apesar deste outro convite ser aceito, a solicitação feita por Hilbert e outros matemáticos foi negada pela maioria do corpo docente argumentando que não poderia permitir uma mulher assumir tal posto, pois poderia se tornar professora e membro do conselho universitário. Ademais, Hilbert foi indagado quando perguntaram o que os soldados alemães ao voltarem para a universidade iriam pensar ao descobrirem que devem aprender aos pés de uma mulher? Imediatamente, Hilbert respondeu:

" Meine Herren , eu não vejo como o sexo de um candidato possa ser um argumento 
contra sua admissão. Afinal, o conselho não é uma casa de banhos. "

Edmund Landau     -  um professor que ocupava o cargo de Diretor do Departamento de Matemática, da Universidade de Göttingen, entre 1909 e 1934, que tinha como uma de suas responsabilidades examinar os trabalhos dos candidatos ao Prémio Wolfskehl  - ao ser perguntado por um colega se Noether era de fato uma grande matemática, respondeu:

" Eu posso testemunhar que ela é um grande matemático, mas se 
ela é uma mulher eu não posso garantir. "

Após 1915, Hilbert passou a dedicar-se, exclusivamente, ao campo da lógica retomando, assim, as investigações nesse campo com o propósito de encontrar os fundamentos lógicos de todas as teorias matemáticas, reconstruindo, assim, os princípios fundamentais, cujo objetivo era mostrar que seriam consistentes.

Alguns historiadores acham que um dos factores que estimularam Hilbert e outros matemáticos a dedicar-se com maior cautela as essas questões foi o de manifestar-se contra a tendência dos chamados ' intuicionistas ', liderados pelo matemático holandês Luitzen Egbert Jan Brouwer que tinham por finalidade eliminar, não só, os paradoxos da teoria dos conjuntos de Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, como também, toda a sua teoria e uma boa parte da análise clássica.

Após anos de pesquisa, Hilbert através de seu programa, criado por volta de 1890, queria unir a comunidade matemática para ajudá-lo a realizar em sua visão um sistema matemático livre de dúvidas ou inconsistências, como também, revelar novas perguntas e criar novas áreas de pesquisa com o objectivo de estimular as gerações futuras de matemáticos. A sua aspiração era tão eloquente que numa conferência no dia 8 de setembro de 1930 em um de seus pronunciamentos e em seu testamento ele afirmou:

 Wir müssen wissen, 
Wir werden wissen.

Nós devemos saber,
Nós vamos saber.

O objectivo de Hilbert era criar um modelo tal que as bases da matemática fosse inabalável e para isso seria necessário questionar ideias que os outros matemáticos, a partir da antiguidade, consideravam certas como por exemplo a lei da tricotomia que declara o seguinte:

Todo número é negativo, positivo ou zero.

Esta declaração é verdadeira, no entanto, os matemáticos não-lógicos, da época, não se preocupavam em prová-la. Os matemáticos lógicos perceberam que esta declaração poderia ser falsa, pois, precisava ser provada. Esta declaração só foi demonstrada como verdadeira no final do século XIX.

Com base nesse raciocínio ele publicou, em 1928, uma tratado de lógica formal baseado nos costumes de Giuseppe Peano e Bertrand Russel intitulado " Grundzüge der theoretischen Logik " ( Elementos de Lógica Teórica ).

A partir de então, a consistência de vários ramos da matemática foi demonstrada e os lógicos prosseguiram com optimismo a sua tarefa, perseguindo o ideal de revelar que toda a matemática estaria isenta de contradições. Em consequência disso, a lógica desdobrou-se em numerosos ramos, subdividindo-se e multiplicando-se de modo quase inconcebível.

Em 1931, Hilbert tentou estabelecer a consistência subjacente de toda a matemática, um esforço que foi demonstrado impossível pelo logicista americano Kurt Gödel, ou seja, Gödel estabeleceu a impossibilidade, em certos sistemas, de se demonstrarem, com o auxílio de regras desse sistema, alguns dos teoremas do próprio sistema, e que são encarados  ¾   por algum critério  ¾   como verdades. Em outras palavras, em um dado sistema existem declarações que não podem ser demonstrados ou contestados. Essas declarações fundamentais são chamadas axiomas.

A título de ilustração apresentaremos alguns axiomas que são os alicerces de toda a estrutura da aritmética:

Para quaisquer números m e n tem-se m + n = n + m

Para cada número n, existe outro número k tal que n + k = 0

Durante esse tempo, os lógicos participaram desse longo processo lento, doloroso e árduo com o fim de reconstruir toda a base matemática, usando o mínimo possível de axiomas, pois, o objectivo era consolidar todo o conhecimento matemático, empregando os padrões mais rigorosos da lógica. Todas as ideias começaram a ser desenvolvidas a partir de 1934 quando do lançamento do primeiro volume da obra intitulada " Grundlagen der Mathematik "  ( Fundamentos da Matemática ).

Em 1936,  o matemático norte-americano Alonzo Church demonstrou a impossibilidade de se resolver de um modo geral uma das questões centrais para a teoria originariamente formulada por Hilbert. 

Em 1939, foi publicado o segundo volume da obra acima referida abordando temas da mais alta relevância, que serviu para impulsionar os jovens matemáticos de gerações futuras. 

Aos 81 anos este talentoso génio faleceu, exactamente no dia 14 de fevereiro de 1943 na cidade de Göttingen - Alemanha deixando para trás trabalhos de tão alta magnitude que, ele foi colocado ao lado de Gauss e de outras figuras ilustres, como um dos ' príncipes da matemática. '