Poincare

Jules Henri Poincaré


Born: 29 April 1854 in Nancy, Lorraine, France
Died: 17 July 1912 in Paris, France




 
Jules Henri Poincaré - matemático e filósofo francês, nasceu no dia 29 de abril de 1854 em Nancy, na Lorena. A sua família tinha bastante prestígio e reputação dando à França alguns vultos de renome como o seu primo Raymond Poincaré que ocupou a Presidência da República na 1ª guerra mundial e Primeiro-Ministro; Léon Poincaré, pai de Henri, médico e Professor da Universidade de Medicina de Nancy; Sua irmã, Aline, que era monja, casou-se com o filósofo espiritualista Emile Boutroux e seu tio, Antoine que destacou-se na administração.

Começou estudando na École Polytechnique em 1873, dando a Henri um primeiro lugar e a partir daí começou a impressionar seus mestres pela habilidade com que resolvia as questões e provando, com isso, que tinha uma memória excepcional e uma aguda intuição especial. Dois anos após, transferiu-se para a École des Mines, pois, pretendia cursar Engenharia de Minas. Elaborou, durante todo esse período, um minucioso estudo a respeito de equações diferenciais que serviu de base para sua tese de doutoramento ocorrida três anos após, na Faculdade de Ciências de Paris. Este estudo levou-o à criação de um novo método para estudar as propriedades de funções definidas para as equações diferenciais tendo sido a primeira pessoa a estudar as propriedades geométricas gerais destas funções. Observou que este método era muito útil na solução de problemas relacionados com a estabilidade do Sistema Solar e que, por sua vez, abriu caminho para o estudo de sistemas determinísticos caóticos dando lugar à topologia Algébrica. Poincaré fez uso da geometria não-euclidiana de Lobachevsky. Depois aplicou os métodos, que tinha introduzido na tese para doutoramento, na Mecânica Celestial.

No dia 1º de dezembro de 1879, Poincaré inicia a carreira de magistério como professor de análise matemática na Universidade de Caen transferindo-se, dois anos depois, para a Universidade de Paris.

Em 1890, no campo da mecânica celestial, Poincaré publicou nos " Acta Mathematica " em seu volume 13, uma obra intitulada " Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique " ( Sobre o problema dos três corpos e as equações da dinâmica ) que após estudos do problema dos três corpos ( Lua -Terra - Sol ) tornou-se assim o primeiro cientista a descobrir um sistema determinístico caótico. Dado a lei da gravidade, as posições iniciais e as velocidades dos únicos três corpos em todo o espaço, as posições subsequentes e as velocidades são fixas e em consequência o sistema de três corpos é determinístico. No entanto, Poincaré achou que a evolução de tal sistema é frequentemente caótica, bastando para isso uma pequena alteração no estado inicial como uma leve mudança na posição inicial de um corpo que poderia conduzir a um mais recente estado radicalmente diferente que seria produzido pelo sistema inalterado. Se uma pequena mudança não é detectada pelos instrumentos, então não poderíamos predizer o que acontecerá no estado final. A pesquisa de Poincaré provou , assim, que o problema de determinismo e o de predicabilidade é distinto.

No campo da astronomia matemática, sua contribuição de maior relevo está resumida no grande tratado intitulado " Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste " ( Os novos métodos da mecânica celeste ), em três volumes os quais foram publicados em 1892, 1893 e 1899. Posteriormente, esse tratado foi seguido de outro de carácter mais prático, também em três volumes, cuja publicação se ocorreu em 1905 e 1910 com a denominação " Leçons de mécanique céleste " ( Lições de mecânica celeste ).

Poincaré esboçou uma versão preliminar da teoria especial da relatividade e afirmou que a velocidade da luz é limitada e que sua massa depende dessa velocidade. Formulou o princípio da relatividade de acordo com o qual nenhuma experiência mecânica ou eletromecânica pode separar um estado de movimento uniforme e um estado de repouso originando-se na transformação de Hendrik Antoon Lorentz. O teorema fundamental diz que todo sistema mecânico isolado retorna, depois de um tempo finito, a seu estado inicial à origem de muitas análises filosóficas e científicas estando sobre a entropia.

Do ponto de vista filosófico, os resultados de Poincaré não receberam a atenção que eles mereceram. Por outro lado, na linha científica de pesquisa que Poincaré abriu era abandonada até que, em 1963, o metereologista Edward Lorenz redescobriu um sistema de determinístico caótico enquanto estudava a evolução de um modelo simples de atmosfera. É importante ressaltar que mesmo tendo as pesquisas de Poincaré desprezadas e menosprezadas, ele recebeu pelas suas pesquisas no campo da mecânica celestial, - estudo do problema dos três corpos e as teorias de luz e ondas electromagnéticas - um importante prémio científico passando, suas pesquisas, a serem reconhecidas como de importância fundamental, pois, ele passou, em conseqüência, a ser reconhecido pelo seu trabalho neste campo como um co-descobridor, com Albert Einstein e Hendrik Lorentz, da Teoria da Relatividade.

Poincaré estava profundamente interessado na filosofia da ciência e nos fundamentos dos matemáticos. Escreveu vários artigos de interpretação filosófica no campo da lógica matemática. Em face da crise de fundamentos que surgiu logo após o desenvolvimento da teoria dos conjuntos, por Georg Cantor, Poincaré teve uma ativa participação nessa crise que no final do século XIX e no início do século XX tornou-se evidente, pois existia vários paradoxos na referida teoria. Zermelo, ao publicar a demonstração do teorema da boa ordenação em 1904, tornou a situação mais crítica, levando questões relativas à existência de certas entidades matemáticas. Poincaré manifestou-se em completo acordo com Kronecker, afirmando, por exemplo, que:



1 - O sistema dos números naturais é " intuitivo ", mas o princípio da indução matemática não se reduz à lógica;

2 - As entidades matemáticas precisam ser definidas de modo ' finitista ' ou seja, de modo segundo a qual se deve evitar, nos raciocínios matemáticos, qualquer recurso ao infinito actual segundo doutrina do matemático alemão David Hilbert, e os conceitos dever ser introduzidos numa ordem que vai do particular para o geral;

3 - A maior parte das ideias de Cantor deviam ser abolidas da matemática.

Conhecendo as contradições a que a teoria dos conjuntos havia conduzido, ainda não conhecidas por Kronecker, Poincaré acrescenta, ainda, que:

4 - Eram inadmissíveis, em matemática, pelo menos, as definições ' não-predicativas '; entende-se por definição não-predicativa de uma entidade 'E' uma definição em que ' E ' se apresenta com significado que é elucidado por meio de classes a que a própria ' E ' pertence.

5 - Seriam ridículas as tentativas de ' reduzir ' a matemática à lógica.


Os logicistas Bertrand Russel e Gottlob Frege acreditavam que a matemática era basicamente uma ramificação da lógica simbólica, porque eles supuseram que a terminologia matemática pode ser definida usando somente a terminologia da lógica e porque, depois desta tradução de condições, qualquer teorema matemático pode ser demonstrado para ser uma base do teorema da lógica.. Poincaré afirma que uma definição de uma entidade matemática não é a exposição das propriedades essenciais da entidade, mas é a construção da própria entidade; em outras palavras, uma definição matemática legítima cria e justifica seu objecto. Para Poincaré, aritmética é uma ciência sintética cujos objectos não são independentes de pensamento humano.

Poincaré fez esta observação quando da investigação da axiomatização da aritmética de Giuseppe Peano no momento em que empregou cinco axiomas matemáticos, alguns com princípios puramente lógicos, os quais passamos a expor:

1 - Zero é um número natural.
2 - Zero não é sucessor de qualquer número natural.
3 - Todo número natural tem um sucessor que é um número natural.
4 - Se o sucessor de um número natural ' a ' é igual ao sucessor do número natural ' b ' , então 'a' e 'b' são iguais.
5 - Suponhamos que:
5.1 - Zero tem uma propriedade ' P ' ;
5.2 - Se todo número natural menor que ' a ' tem a propriedade ' P ' , então ' a ' também tem a propriedade ' P '. ( Este é o princípio de indução completa ou raciocínio por recorrência).

Bertrand Russel disse que os axiomas de Peano constituem uma definição implícita de números naturais. No entanto, Poincaré afirmou que eles só devem ser demonstrados para ser consistentes, e para isto, é necessário que exista algum objecto que satisfaça estes axiomas. Do ponto de vista geral, um sistema de axioma só pode ser concebido como uma definição implícita se for possível provar a existência de pelo menos um objecto que satisfaça a todos os axiomas. E para provar isto que não é uma tarefa fácil pelo fato de que o número de consequências dos axiomas de Peano ser infinito e assim uma inspecção directa de cada consequência não é possível. Só um modo parece adequado: nós temos que verificar que se as premissas de uma conclusão no sistema são consistentes com os axiomas da lógica, então temos a conclusão. Se após a conclusão de 'n' não houver contradição, então partiremos para as ' n+1' conclusões que após a demonstração, não haverá contradição para qualquer um. Poincaré discutiu afirmando que este raciocínio é um círculo maligno, porque confia no princípio de indução completa cuja consistência tem que provar. Vale ressaltar que Gerhard Gentzen provou a consistência do axioma de Peano, mas a sua prova requereu o uso de uma forma limitada de indução de transfinito cuja própria consistência é suspeita. Poincaré apoia o ponto de vista epistemológico de Kant na aritmética. Para Poincaré , é o princípio de indução completa ou raciocínio por recorrência que não é provável por conclusões analíticas. Consequentemente, aritmética não pode ser reduzida da lógica; o posterior é analítico, enquanto aritmética é sintética.

O carácter sintético da aritmética também é evidente se nós considerarmos a natureza do raciocínio matemático. Poincaré sugestiona uma distinção entre dois tipos diferentes de conclusão matemática: verificação e prova. Verificação ou prova-cheque é um tipo de raciocínio mecânico, enquanto prova-criação é uma conclusão fecunda. Por exemplo, a declaração 3 + 3 = 6 é verificável porque é possível demonstrar sua verdade com a ajuda de leis lógicas e a definição de soma; é uma declaração analítica que admite uma verificação directa. No entanto a declaração geral não é directamente verificável. Vejamos a lei da comutatividade em relação à adição. Seja ' x ' e ' y ' dois elementos quaisquer, pertencentes a um conjunto. Então temos, pela declaração geral da lei da comutatividade que x + y = y + x para todo x, y pertencentes ao conjunto não é directamente verificável. Poincaré supôs que podemos escolher um par arbitrário de números naturais 'a' e 'b' e verificar que a + b = b + a; No entanto, existem uma infinidade de escolhas admissíveis de pares gerando em consequência uma verificação incompleta. Em outras palavras, a verificação da lei da comutatividade é um método analítico por meio do qual podemos verificar toda a instância particular de um teorema geral, enquanto que a prova do próprio teorema é um raciocínio sintético que se estende ao nosso conhecimento.

Outro aspecto que necessita de reflexão matemática e que é analisado por Poincaré são as partes diferentes de jogadas por intuição e lógica. Métodos de lógica formal são elementares e certos os quais merece toda confiança. Porém, a lógica não nos ensina como construir uma prova. é a intuição que ajuda os matemáticos a encontrar um modo correcto de reunir conclusões básicas em uma prova útil. Como exemplo, Poincaré cita o seguinte: Um jogador de xadrez inexperiente que assiste um jogo pode verificar se um movimento é legal, mas ele não entende porque os jogadores movem certas peças e, também, não vê o plano que guia as escolhas de jogadores. De modo semelhante, um matemático que só usa métodos lógicos pode verificar toda conclusão de uma determinada prova, mas ele não pode achar uma prova original, isto é: Toda conclusão elementar em uma prova é facilmente verificável por lógica formal, mas a criação de uma prova requer a sua compreensão.

Poincaré define a lógica como sendo o estudo de propriedades que são comuns a todas as classificações. Há dois tipos diferentes de classificações: As classificações predicativas não são modificadas pela introdução de elementos novos, enquanto que as não-predicativas são modificadas através de elementos novos. As definições como também as classificações são divididas em predicativo e não-predicativo. Um jogo é definido por uma lei de acordo com a qual todo elemento é gerado. No caso de um jogo infinito, o processo de elementos geradores está inacabado; assim sempre há elementos novos. Se a introdução deles muda a classificação de objectos já gerados, então a definição é não-predicativa. Por exemplo, olhe frases contendo um número finito de palavras e definindo um ponto de espaço. Estas frases são organizadas em ordem alfabética e que cada uma delas é associado um número natural: o primeiro ponto é associado ao número 1, o segundo ao 2, etc. Consequentemente, todos os pontos definidos por tais frases é associado ao número natural. Agora, suponha que um ponto novo é definido por uma frase nova. Para determinar o número correspondente é necessário inserir esta frase em ordem alfabética; mas tal operação modifica o número associado com os pontos já classificados cuja definição da frase segue, em ordem alfabética, a frase nova. Daí conclui-se que esta definição nova é não-predicativa.

Poincaré combateu os formalistas e os logicistas, embora se mostrava adepto do formalismo quando do estudo da geometria. A descoberta de geometrias não-Euclidianas intranqüilizou o ponto de vista Kantiano geralmente aceito de que a verdadeira estrutura de espaço pode ser conhecida a priori. Entender o ponto de vista de Poincaré sobre os fundamentos da geometria, é lembrar que, durante sua pesquisa com relação a funções definidas por equações diferenciais, ele usou a geometria não-Euclidiana. Ele descobriu que várias propriedades geométricas são prováveis facilmente por conceitos da geometria de Lobachevsky. Eugênio Beltrami provou a consistência da geometria de Lobachevsky com respeito à geometria Euclidiana, certamente por uma tradução de cada termo da geometria de Lobachevsky para um termo da geometria Euclidiana. A tradução era cuidadosamente escolhida de forma que cada axioma da geometria não-Euclidiana estivesse traduzido num teorema da geometria Euclidiana. A tradução de Beltrami e o estudo sobre funções de Poincaré levou-o a afirmar que:

1 - Geometrias não-Euclidianas têm a mesma lógica e legitimidade matemática tanto quanto a geometria Euclidiana.
2 - Todos os sistemas geométricos são equivalentes. Logo não se pode dizer que um sistema de axiomas é uma geometria verdadeira.
3 - Axiomas de geometria nem são apriori julgamentos sintéticos nem analíticos; eles são convenções ou definições disfarçadas.

De acordo com Poincaré, as geometrias diferem em sua linguagem, mas são concordantes com a mesma realidade, porque uma geometria pode ser traduzida em outra. Há um único critério de acordo com o qual podemos seleccionar uma geometria, nominalmente um critério de economia e simplicidade. Esta é a verdadeira razão porque nós comunmente usamos a geometria Euclidiana: é a mais simples.

Poincaré, critica seus adversários, em resumo, pelo fato de que uns e outros caem em círculos viciosos. Sustentando que os números naturais, em sua totalidade, não podiam ser definidos e que toda a matemática se assenta no princípio da indução, cuja validade precisa ser dada como intuitiva. Algumas observações de Poincaré mostram que não chegou a compreender com precisão as idéias dos formalistas. De qualquer modo, suas ideias merecem atenção na medida em que salientam a necessidade de usar-se um princípio não-formal nos alicerces da matemática.

Em 1902 Poincaré publicou sua obra denominada " La Science et l'hypothèse " ( A ciência e a hipótese ) através da qual afirma que as teorias científicas originadas de experiências, nem são verificáveis nem falsificáveis por meio da experiência isolada. Por exemplo, devemos encontrar uma lei matemática que descreve uma determinada série de observações. Delinearemos pontos representativos num gráfico e então uma única curva é interposta. Esta curva apoiar-se-á na experiência que determina os pontos representativos apesar de que alguns pontos perderão a curva. Portanto, a curva interposta - e assim a lei experimental - não é uma generalização directa da experiência. A discrepância entre valores observados e calculados não é considerada como uma falsificação da lei, mas, uma correcção que ela impõe em nossas observações. Assim sendo, existe sempre uma diferença entre os fatos e as teorias. Portanto, uma teoria científica não é directamente falsificada pela experiência.

Para executar uma tarefa, a ciência faz uso de generalizações que vão além da experiência. As teorias científicas são hipóteses que deverão ser continuamente testadas separadamente e ocorrendo falha em algum teste empírico, esta deverá ser abandonada. Poincaré afirma que uma hipótese científica que foi provada insustentavelmente, pode ainda ser útil. Como por exemplo o princípio de Carnot o qual estabeleceu , partindo de hipóteses falsas que quando foi percebido que o calor não é indestrutível, mas pode ser transformado em trabalho, suas ideias foram completamente abandonadas: depois Clausius voltou a elas e as fez triunfar definitivamente. A teoria de Carnot, sob a forma primitiva, exprimia, ao lado de relações verdadeiras, outras inexactas, restos das velhas ideias; Clausius não teve senão de afastá-las, como se desbastam ramos mortos. O resultado foi a segunda lei da termo-dinâmica. Eram sempre as mesmas relações, embora não se dessem elas, ao menos aparentemente, entre os mesmos objectos. Foi o suficiente para que o princípio conservasse seu valor. E mesmo os raciocínios de Carnot não pereceram; estavam aplicados a uma matéria contaminada de erros, mas sua forma ou seja, o essencial permanecia correcto.

Para Poincaré, se uma hipótese não passa em um teste empírico, então cometemos algum erro importante e significativo, logo a hipótese nos oferece a oportunidade para descobrir a existência de um aspecto inesperado da realidade e, como consequência do ponto de vista sobre a natureza de teorias científicas, Poincaré sugere que um cientista deve utilizar poucas hipóteses porque é muito difícil encontrar hipóteses erradas numa teoria que faz uso de muitas hipóteses.

Em 1905 Poincaré escreve uma de suas obras que mais se destacaram e que foi publicada com o intuito de definir e classificar as ciências do um ponto de vista objectivo e subjectivo, como também, explicar a diferenciação entre as ciências do porquê e as do como. Esta obra foi intitulada " La Valeur de la Science " ( O Valor da ciência ).

Em 1909 publica seu penúltimo livro intitulado " Science et méthode " ( Ciência e método ) o qual aborda o problema da invenção matemática sustentando que a criação da matemática não se limita a uma combinação de coisas conhecidas  " Qualquer pessoa pode fazer isso ". " Criar consiste em evitar combinações inúteis e buscar as que são úteis; a invenção é discernimento, selecção ". Além desta obra, Poincaré ainda escreve uma outra obra denominada " Dernières pensées " ( Últimos pensamentos ) que foi editada postumamente. Vale aqui ressaltar que, todas as suas obras foram coligidas por G. Darboux sob o título " Euvres " e publicadas entre 1916 e 1956, em onze volumes.

No dia 17 de julho de 1912 na capital da França, faleceu Jules Henri Poincaré.


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Henri Poincaré's father was Léon Poincaré and his mother was Eugénie Launois. They were 26 and 24 years of age, respectively, at the time of Henri's birth. Henri was born in Nancy where his father was Professor of Medicine at the University. Léon Poincaré's family produced other men of great distinction during Henri's lifetime. Raymond Poincaré, who was prime minister of France several times and president of the French Republic during World War I, was the elder son of Léon Poincaré's brother Antoine Poincaré. The second of Antoine Poincaré's sons, Lucien Poincaré, achieved high rank in university administration.

Henri was [2]:-

... ambidextrous and was nearsighted; during his childhood he had poor muscular coordination and was seriously ill for a time with diphtheria. He received special instruction from his gifted mother and excelled in written composition while still in elementary school.

In 1862 Henri entered the Lycée in Nancy (now renamed the Lycée Henri Poincaré in his honour). He spent eleven years at the Lycée and during this time he proved to be one of the top students in every topic he studied. Henri was described by his mathematics teacher as a "monster of mathematics" and he won first prizes in the concours général, a competition between the top pupils from all the Lycées across France.

Poincaré entered the Ecole Polytechnique in 1873, graduating in 1875. He was well ahead of all the other students in mathematics but, perhaps not surprisingly given his poor coordination, performed no better than average in physical exercise and in art. Music was another of his interests but, although he enjoyed listening to it, his attempts to learn the piano while he was at the Ecole Polytechnique were not successful. Poincaré read widely, beginning with popular science writings and progressing to more advanced texts. His memory was remarkable and he retained much from all the texts he read but not in the manner of learning by rote, rather by linking the ideas he was assimilating particularly in a visual way. His ability to visualise what he heard proved particularly useful when he attended lectures since his eyesight was so poor that he could not see the symbols properly that his lecturers were writing on the blackboard.

After graduating from the Ecole Polytechnique, Poincaré continued his studies at the Ecole des Mines. His [21]:-

... meticulous notes taken on field trips while a student there exhibit a deep knowledge of the scientific and commercial methods of the mining industry; a subject that interested him throughout his life.

After completing his studies at the Ecole des Mines Poincaré spent a short while as a mining engineer at Vesoul while completing his doctoral work. As a student of Charles Hermite, Poincaré received his doctorate in mathematics from the University of Paris in 1879. His thesis was on differential equations and the examiners were somewhat critical of the work. They praised the results near the beginning of the work but then reported that the (see for example [21]):-

... remainder of the thesis is a little confused and shows that the author was still unable to express his ideas in a clear and simple manner. Nevertheless, considering the great difficulty of the subject and the talent demonstrated, the faculty recommends that M Poincaré be granted the degree of Doctor with all privileges.

Immediately after receiving his doctorate, Poincaré was appointed to teach mathematical analysis at the University of Caen. Reports of his teaching at Caen were not wholly complimentary, referring to his sometimes disorganised lecturing style. He was to remain there for only two years before being appointed to a chair in the Faculty of Science in Paris in 1881. In 1886 Poincaré was nominated for the chair of mathematical physics and probability at the Sorbonne. The intervention and the support of Hermite was to ensure that Poincaré was appointed to the chair and he also was appointed to a chair at the Ecole Polytechnique. In his lecture courses to students in Paris [2]:-

... changing his lectures every year, he would review optics, electricity, the equilibrium of fluid masses, the mathematics of electricity, astronomy, thermodynamics, light, and probability.

Poincaré held these chairs in Paris until his death at the early age of 58.

Before looking briefly at the many contributions that Poincaré made to mathematics and to other sciences, we should say a little about his way of thinking and working. He is considered as one of the great geniuses of all time and there are two very significant sources which study his thought processes. One is a lecture which Poincaré gave to l'Institute Général Psychologique in Paris in 1908 entitled Mathematical invention in which he looked at his own thought processes which led to his major mathematical discoveries. The other is the book [30] by Toulouse who was the director of the Psychology Laboratory of l'Ecole des Hautes Etudes in Paris. Although published in 1910 the book recounts conversations with Poincaré and tests on him which Toulouse carried out in 1897.

In [30] Toulouse explains that Poincaré kept very precise working hours. He undertook mathematical research for four hours a day, between 10 am and noon then again from 5 pm to 7 pm. He would read articles in journals later in the evening. An interesting aspect of Poincaré's work is that he tended to develop his results from first principles. For many mathematicians there is a building process with more and more being built on top of the work. This was not the way that Poincaré worked and not only his research, but also his lectures and books, were all developed carefully from basics. Perhaps most remarkable of all is the description by Toulouse in [30] of how Poincaré went about writing a paper. Poincaré:-

... does not make an overall plan when he writes a paper. He will normally start without knowing where it will end. ... Starting is usually easy. Then the work seems to lead him on without him making a wilful effort. At that stage it is difficult to distract him. When he searches, he often writes a formula automatically to awaken some association of ideas. If beginning is painful, Poincaré does not persist but abandons the work.

Toulouse then goes on to describe how Poincaré expected the crucial ideas to come to him when he stopped concentrating on the problem:-

Poincaré proceeds by sudden blows, taking up and abandoning a subject. During intervals he assumes ... that his unconscious continues the work of reflection. Stopping the work is difficult if there is not a sufficiently strong distraction, especially when he judges that it is not complete ... For this reason Poincaré never does any important work in the evening in order not to trouble his sleep.

As Miller notes in [21]:-

Incredibly, he could work through page after page of detailed calculations, be it of the most abstract mathematical sort or pure number calculations, as he often did in physics, hardly ever crossing anything out.

Let us examine some of the discoveries that Poincaré made with this method of working. Poincaré was a scientist preoccupied by many aspects of mathematics, physics and philosophy, and he is often described as the last universalist in mathematics. He made contributions to numerous branches of mathematics, celestial mechanics, fluid mechanics, the special theory of relativity and the philosophy of science. Much of his research involved interactions between different mathematical topics and his broad understanding of the whole spectrum of knowledge allowed him to attack problems from many different angles.

Before the age of 30 he developed the concept of automorphic functions which are functions of one complex variable invariant under a group of transformations characterised algebraically by ratios of linear terms. The idea was to come in an indirect way from the work of his doctoral thesis on differential equations. His results applied only to restricted classes of functions and Poincaré wanted to generalise these results but, as a route towards this, he looked for a class functions where solutions did not exit. This led him to functions he named Fuchsian functions after Lazarus Fuchs but were later named automorphic functions. The crucial idea came to him as he was about to get onto a bus, as he relates in Science and Method (1908):-

At the moment when I put my foot on the step the idea came to me, without anything in my former thoughts seeming to have paved the way for it, that the transformation that I had used to define the Fuchsian functions were identical with those of non-euclidean geometry.

In a correspondence between Klein and Poincaré many deep ideas were exchanged and the development of the theory of automorphic functions greatly benefited. However, the two great mathematicians did not remain on good terms, Klein seeming to become upset by Poincaré's high opinions of Fuchs' work. Rowe examines this correspondence in [149].

Poincaré's Analysis situs , published in 1895, is an early systematic treatment of topology. He can be said to have been the originator of algebraic topology and, in 1901, he claimed that his researches in many different areas such as differential equations and multiple integrals had all led him to topology. For 40 years after Poincaré published the first of his six papers on algebraic topology in 1894, essentially all of the ideas and techniques in the subject were based on his work. Even today the Poincaré conjecture remains as one of the most baffling and challenging unsolved problems in algebraic topology.

Homotopy theory reduces topological questions to algebra by associating with topological spaces various groups which are algebraic invariants. Poincaré introduced the fundamental group (or first homotopy group) in his paper of 1894 to distinguish different categories of 2-dimensional surfaces. He was able to show that any 2-dimensional surface having the same fundamental group as the 2-dimensional surface of a sphere is topologically equivalent to a sphere. He conjectured that this result held for 3-dimensional manifolds and this was later extended to higher dimensions. Surprisingly proofs are known for the equivalent of Poincaré's conjecture for all dimensions strictly greater than three. No complete classification scheme for 3-manifolds is known so there is no list of possible manifolds that can be checked to verify that they all have different homotopy groups.

Poincaré is also considered the originator of the theory of analytic functions of several complex variables. He began his contributions to this topic in 1883 with a paper in which he used the Dirichlet principle to prove that a meromorphic function of two complex variables is a quotient of two entire functions. He also worked in algebraic geometry making fundamental contributions in papers written in 1910-11. He examined algebraic curves on an algebraic surface F(x, y, z) = 0 and developed methods which enabled him to give easy proofs of deep results due to Emile Picard and Severi. He gave the first correct proof of a result stated by Castelnuovo, Enriques and Severi, these authors having suggested a false method of proof.

His first major contribution to number theory was made in 1901 with work on [1]:-

... the Diophantine problem of finding the points with rational coordinates on a curve f(x, y) = 0, where the coefficients of f are rational numbers.

In applied mathematics he studied optics, electricity, telegraphy, capillarity, elasticity, thermodynamics, potential theory, quantum theory, theory of relativity and cosmology. In the field of celestial mechanics he studied the three-body-problem, and the theories of light and of electromagnetic waves. He is acknowledged as a co-discoverer, with Albert Einstein and Hendrik Lorentz, of the special theory of relativity. We should describe in a little more detail Poincaré's important work on the 3-body problem.

Oscar II, King of Sweden and Norway, initiated a mathematical competition in 1887 to celebrate his sixtieth birthday in 1889. Poincaré was awarded the prize for a memoir he submitted on the 3-body problem in celestial mechanics. In this memoir Poincaré gave the first description of homoclinic points, gave the first mathematical description of chaotic motion, and was the first to make major use of the idea of invariant integrals. However, when the memoir was about to be published in Acta Mathematica, Phragmen, who was editing the memoir for publication, found an error. Poincaré realised that indeed he had made an error and Mittag-Leffler made strenuous efforts to prevent the publication of the incorrect version of the memoir. Between March 1887 and July 1890 Poincaré and Mittag-Leffler exchanged fifty letters mainly relating to the Birthday Competition, the first of these by Poincaré telling Mittag-Leffler that he intended to submit an entry, and of course the later of the 50 letters discuss the problem concerning the error. It is interesting that this error is now regarded as marking the birth of chaos theory. A revised version of Poincaré's memoir appeared in 1890.

Poincaré's other major works on celestial mechanics include Les Méthods nouvelle de la méchanique celeste in three volumes published between 1892 and 1899 and Leçons de mecanique celeste (1905). In the first of these he aimed to completely characterise all motions of mechanical systems, invoking an analogy with fluid flow. He also showed that series expansions ly used in studying the 3-body problem were convergent, but not in general uniformly convergent, so putting in doubt the stability proofs of Lagrange and Laplace.

He also wrote many popular scientific articles at a time when science was not a popular topic with the general public in France. As Whitrow writes in [2]:-

After Poincaré achieved prominence as a mathematician, he turned his superb literary gifts to the challenge of describing for the general public the meaning and importance of science and mathematics.

Poincaré's popular works include Science and Hypothesis (1901), The Value of Science (1905), and Science and Method (1908). A quote from these writings is particularly relevant to this archive on the history of mathematics. In 1908 he wrote:-

The true method of foreseeing the future of mathematics is to study its history and its actual state.

Finally we look at Poincaré's contributions to the philosophy of mathematics and science. The first point to make is the way that Poincaré saw logic and intuition as playing a part in mathematical discovery. He wrote in Mathematical definitions in education (1904):-

It is by logic we prove, it is by intuition that we invent.

In a later article Poincaré emphasised the point again in the following way:-

Logic, therefore, remains barren unless fertilised by intuition.

McLarty [119] gives examples to show that Poincaré did not take the trouble to be rigorous. The success of his approach to mathematics lay in his passionate intuition. However intuition for Poincaré was not something he used when he could not find a logical proof. Rather he believed that formal arguments may reveal the mistakes of intuition and logical argument is the only means to confirm insights. Poincaré believed that formal proof alone cannot lead to knowledge. This will only follow from mathematical reasoning containing content and not just formal argument.

Now it is reasonable to ask what Poincaré meant by "intuition". This is now straightforward, since he saw it as something rather different in his work in physics to his work in mathematics. In physics he saw intuition as encapsulating mathematically what his senses told him of the world. But to explain what "intuition" was in mathematics, Poincaré fell back on saying it was the part which did not follow by logic:-

... to make geometry ... something other than pure logic is necessary. To describe this "something" we have no word other than intuition.

The same point is made again by Poincaré when he wrote a review of Hilbert's Foundations of geometry (1902):-

The logical point of view alone appears to interest [Hilbert]. Being given a sequence of propositions, he finds that all follow logically from the first. With the foundations of this first proposition, with its psychological origin, he does not concern himself.

We should not give the impression that the review was negative, however, for Poincaré was very positive about this work by Hilbert. In [181] Stump explores the meaning of intuition for Poincaré and the difference between its mathematically acceptable and unacceptable forms.

Poincaré believed that one could choose either euclidean or non-euclidean geometry as the geometry of physical space. He believed that because the two geometries were topologically equivalent then one could translate properties of one to the other, so neither is correct or false. for this reason he argued that euclidean geometry would always be preferred by physicists. This, however, has not proved to be correct and experimental evidence now shows clearly that physical space is not euclidean.

Poincaré was absolutely correct, however, in his criticism of those like Russell who wished to axiomatise mathematics were doomed to failure. The principle of mathematical induction, claimed Poincaré, cannot be logically deduced. He also claimed that arithmetic could never be proved consistent if one defined arithmetic by a system of axioms as Hilbert had done. These claims of Poincaré were eventually shown to be correct.

We should note that, despite his great influence on the mathematics of his time, Poincaré never founded his own school since he did not have any students. Although his contemporaries used his results they seldom his techniques.

Poincaré achieved the highest honours for his contributions of true genius. He was elected to the Académie des Sciences in 1887 and in 1906 was elected President of the Academy. The breadth of his research led to him being the only member elected to every one of the five sections of the Academy, namely the geometry, mechanics, physics, geography and navigation sections. In 1908 he was elected to the Académie Francaise and was elected director in the year of his death. He was also made chevalier of the Légion d'Honneur and was honoured by a large number of learned societies around the world. He won numerous prizes, medals and awards.

Poincaré was only 58 years of age when he died [3]:-

M Henri Poincaré, although the majority of his friends were unaware of it, recently underwent an operation in a nursing home. He seemed to have made a good recovery, and was about to drive out for the first time this morning. He died suddenly while dressing.

His funeral was attended by many important people in science and politics [3]:-

The President of the Senate and most of the members of the Ministry were present, and there were delegations from the French Academy, the Académie des Sciences, the Sorbonne, and many other public institutions. The Prince of Monaco was present, the Bey of Tunis was represented by his two sons, and Prince Roland Bonaparte attended as President of the Paris Geographical Society. The Royal Society was represented by its secretary, Sir Joseph Larmor, and by the Astronomer Royal, Mr F W Dyson.

Let us end with a quotation from an address at the funeral:-

[M Poincaré was] a mathematician, geometer, philosopher, and man of letters, who was a kind of poet of the infinite, a kind of bard of science.