As pavimentações não são um tópico morto arrumado pelos matemáticos no século
XIX. Aliás foi nos últimos anos que teve lugar uma das mais notáveis
descobertas na teoria das pavimentações, a existência de um conjunto de
protoladrilhos aperiódicos.Pavimentações Aperiódicas
As pavimentações não são um tópico morto arrumado pelos matemáticos no século
XIX. Aliás foi nos últimos anos que teve lugar uma das mais notáveis
descobertas na teoria das pavimentações, a existência de um conjunto de
protoladrilhos aperiódicos.
Mas,
afinal o que são protoladrilhos?
Se L for um ladrilho com o qual é possível construir uma pavimentação do plano, dizemos que L é um protoladrilho. De modo análogo pode definir-se um conjunto de protoladrilhos.
Um ladrilho, ou um conjunto de
ladrilhos, pode dar origem a pavimentações periódicas e não periódicas,
como por exemplo os papagaios e setas de Penrose.
E pavimentações aperiódicas?
O que são?
Pavimentações aperiódicas são pavimentações onde não existe um padrão que se repita, apesar de ser possível haver uma cobertura total do plano, sem espaços intermédios nem sobreposições. Este tipo de pavimentações é possível quando cada um dos ladrilhos tem elementos gráficos que restringem a sua colocação no plano.
Durante muito tempo
acreditava-se que não existia um conjunto de ladrilhos que apenas admitisse
pavimentações não periódicas, no entanto, em 1967, Raphael Robinson
apresentou um conjunto de seis ladrilhos nestas condições. Vamos
conhecê-los...
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De
facto, cada um destes ladrilhos isolados, ou com alguns do mesmo conjunto não
admite pavimentações periódicas, mas o conjunto dos seis admite pavimentações
não periódicas. Como, para além disso, este conjunto de protoladrilhos admite
um conjunto infinito e não numerável de pavimentações, ele designa-se aperiódico.
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No entanto, só alguns anos mais tarde Roger Penrose descobriu o conjunto mais
notável de protoladrilhos aperiódicos, denominados de papagaios e setas, ou kites
e darts. Venha conhecê-lo...
John Conway também deu um importante contributo para as pavimentações
aperiódicas. Foi ele que atribuiu o nome de kites e darts ao
conjunto de protoladrilhos de Penrose e sugeriu uma forma diferente de os
juntar, sem recorrer às letras colocadas nos vértices dos ladrilhos. Marcou os
protoladrilhos com duas curvas...
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Para se construir uma pavimentação aperiódica, basta ter em atenção que só
se podem unir os ladrilhos de forma a que as curvas de cor igual se prolonguem
de um ladrilho para o outro.
Vejamos agora alguns exemplos de pavimentações aperiódicas que se obtém
através dos protoladrilhos de Penrose, marcados segundo Conway...
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Note-se que os ladrilhos utilizados não são exactamente iguais aos referidos
acima, uma vez que não forma utilizados ladrilhos com curvas de cor
diferente, ainda que tal tenha sido tomado em consideração aquando da junção
dos ladrilhos.
