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Problemas e Exercícios
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Nesta página podes encontrar problemas e exercícios que podem servir como desafio ou mesmo como preparação para os testes. Eles encontram-se divididos pelos temas:
Organização de Dados e Gráficos;
No final de alguns problemas/exercícios, podes consultar a sua Solução/Tópico de Resolução.
1. Diga porque é que as seguintes situações representam más amostras:
a) Para saber qual o candidato mais votado, para a Câmara de determinada cidade, auscultou-se a opinião dos clientes de determinado supermercado.
b) Para conhecer a situação financeira das empresas têxteis portuguesas, verificou-se a situação das empresas que tiveram maior volume de exportações, no último ano.
2. Num estudo feito numa escola, recolheram-se dados referentes às seguintes variáveis:
|
(A) idade |
(E) tempo gasto diariamente no estudo |
|
(B) ano de escolaridade |
(F) distância de casa à escola |
|
(C) sexo |
(G) local de estudo |
|
(D) nota na disciplina de Matemática |
(H) número de irmãos |
a) Das variáveis indicadas, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas?
b) Das variáveis quantitativas, diz quais são contínuas.
3. Para realizar um estudo sobre o tempo gasto, em minutos, por 60 elementos de um clube de karting num circuito de 20 voltas, registou-se o tempo gasto por 16 desses elementos. Os resultados foram os seguintes:
| 14,1 | 13,5 | 15,0 | 16,2 | 17,6 | 18,7 | 13,1 | 15,4 |
| 16,6 | 17,2 | 14,8 | 15,9 | 18,0 | 16,3 | 14,9 | 14,3 |
3.1. Indique:
a) a população;
b) a amostra.
3.2. Indique a variável estatística do estudo e classifique-a.
3.3. Indique quatro valores que a variável estatística pode assumir.
[Prob/exerc] [topo]
Organização de Dados e Gráficos
4. Numa cidade de 20000 habitantes fez-se um inquérito sobre o meios de transporte utilizado diariamente para se deslocarem para o emprego. Foram interrogadas 2500 pessoas e os resultados foram registados no seguinte gráfico:
Construa uma tabela com a frequência relativa de cada um dos transportes.
5. Neste gráfico de barras está representada a evolução da população residente portuguesa ao longo dos anos, segundo os dados estatísticos obtidos nos recenseamentos.
a) Qual o valor aproximado da população residente em Portugal no ano de 1989?
b) Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população residente em Portugal foi igual a 10 milhões?
c) A partir de que anos os portugueses residentes passam a ser mais de 10 milhões?
d) Qual parece ser a evolução nos próximos anos?
6. A Raquel fez um inquérito para a disciplina de Estudo Acompanhado sobre quantas horas os colegas estudavam por dia. Obteve o histograma seguinte:
a) Quantas classes formou a Raquel?
b) Com que amplitude?
c) Em que intervalo se encontra a resposta mais frequente?
d) Qual a percentagem de alunos que estuda no máximo 6 horas?
e) Há alunos que estudam mais do que meio dia?
f) Construa o respectivo polígono de frequências.
7. As alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma do 10º ano são as seguintes:
| 150 | 169 | 174 | 155 | 165 | 170 | 172 |
| 152 | 158 | 163 | 158 | 166 | 158 | 166 |
| 170 | 171 | 162 | 171 | 161 | 154 | 168 |
| 161 | 164 | 166 | 164 | 162 | 156 | 167 |
a) Construa uma tabela de frequências, agrupando os dados em classes.
b) Represente graficamente os dados, utilizando o tipo de gráfico que achar mais conveniente.
[Prob/exerc] [topo]
8. Os seguintes valores representam o número de medalhas (ouro, prata e bronze) obtidas nos jogos olímpicos de Verão de 1976:
Construa um diagrama de caule-e-folhas ou um histograma dos dados e identifique o tipo de distribuição.
9. Considere várias representações gráficas, como por exemplo, histogramas referentes a notas de várias turmas.
a) Compare a posição relativa das medianas das notas das três turmas.
b) Considere a classe 1). Será de esperar que a média e a mediana das notas dessa turma, estejam próximas?
c) Considere os dados da classe 2). Será de esperar que a mediana seja superior à média ou inferior?
Sugestão: Pode-se considerar notas de um teste aplicado a várias turmas para comparar turma!
10. Num inquérito à comunidade científica sobre a utilização de meios informáticos, realizado pela Fundação para o Desenvolvimento dos Meios Nacionais de Cálculo Científico, obtiveram-se os seguintes resultados quanto ao tipo de problemas tratados:
Construa um diagrama de extremos e quartis dos dados e discuta-o.
11. Num determinado teste realizado a 50 estudantes obtiveram-se as seguintes pontuações:
Depois de ordenada a amostra construa a função distribuição empírica e determine:
a) a nota N, tal que 50% dos alunos tenham notam menor ou igual a N;
b) qual a percentagem P de alunos com nota menor ou igual a 81.
[Prob/exerc] [topo]
12. Seguidamente apresentam-se algumas estimativas para a velocidade da luz determinadas por Michelson em 1882 (Statistics and Data Analysis, Siegel).
| 299,96 | 299,88 | 299,90 | 299,94 | 299,88 |
| 299,96 | 299,85 | 299,94 | 299,80 | 299,84 |
Utilizando uma máquina que só admite números até 6 dígitos:
a) determine a média.
b) determine o desvio padrão, utilizando a expressão da definição.
c) determine o desvio padrão, utilizando a fórmula deduzida para efeitos de cálculo, e compare o resultado, com o obtido na alínea anterior. Qual a resposta correcta?
d) subtraia 299 a cada um dos dados e determine o desvio padrão, dos resultados obtidos, utilizando a fórmula utilizada na alínea anterior. Comente os resultados obtidos.
e) calcule a média dos valores com que trabalhou na alínea anterior. Adicione à média obtida 299. Compare-a com a obtida na alínea a.
13. O Sr. Malaquias, cujas habilitações literárias não vão além da 4º ano de escolaridade, respondeu a dois anúncios de oferta de emprego. As empresas trabalham no mesmo ramo, pelo que o serviço que o Sr. Malaquias iria fazer seria semelhante em qualquer das empresas. Resolveu saber alguma coisa sobre os ordenados processados nos dois sítios, tendo obtido a seguinte informação:
|
|
Empresa A |
Empresa B |
|
Média |
445 € |
475 € |
|
Mediana |
400 € |
350 € |
|
Desvio padrão |
160 € |
190 € |
Qual das empresas aconselharia o Sr. Malaquias a escolher ? Explique porquê.
14. Considere os seguintes resultados de um exame de Matemática realizado a 213 alunos:
|
Nota |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
Freq. Abs. |
1 |
1 |
5 |
7 |
12 |
13 |
16 |
15 |
17 |
32 |
17 |
21 |
12 |
16 |
8 |
4 |
7 |
5 |
4 |
a) Calcule a média e o desvio padrão dos dados.
b) Represente graficamente os dados na forma de um histograma considerando as seguintes
classes:
[1,3[, [3,5[, [5,7[, [7,9[, [9,11[, [11,13[, [13,15[, [15,17[, [17,19[, [19,21[.
c) Qual o aspecto apresentado pelo histograma?
d)
Verifique
quantas notas pertencem ao intervalo 
. Corresponde a que
percentagem?
Comente o valor obtido.
e) Verifique quantas notas pertencem ao intervalo. Corresponde a que percentagem? Comente o valor obtido.
15. Suponha que se adicionou 100 a cada um dos valores de uma amostra.
15.1. O que é que acontece ao:
a) Desvio padrão.
b) Amplitude inter-quartil.
c) Amplitude.
d) Média.
e) Mediana.
15.2. Suponha que obteve o valor de -40.5 para a variância. O que conclui?
15.3. Suponha que a amplitude de uma amostra é 105.4 e que ao calcular o desvio padrão obteve o valor 260.6. O que conclui?
[Prob/exerc] [topo]
16. A tabela seguinte apresenta três conjuntos de dados A, B e C, preparados pelo estatístico Frank Anscombe, para ilustrar os perigos de calcular medidas sem primeiro representar os dados. Os conjuntos de dados A, B e C têm a mesma correlação e a mesma recta de regressão (Moore, 1995):
A
|
x |
10 |
8 |
13 |
9 |
11 |
14 |
6 |
4 |
12 |
7 |
5 |
|
y |
8.04 |
6.95 |
7.58 |
8.81 |
8.33 |
9.96 |
7.24 |
4.26 |
10.84 |
4.82 |
5.6 |
B
|
x |
10 |
8 |
13 |
9 |
11 |
14 |
6 |
4 |
12 |
7 |
5 |
|
y |
9.14 |
8.14 |
8.74 |
8.77 |
9.26 |
8.10 |
6.13 |
3.10 |
9.13 |
7.26 |
4.74 |
C
|
x |
8 |
8 |
12 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
19 |
|
y |
6.58 |
5.76 |
7.71 |
8.84 |
8.47 |
7.04 |
5.25 |
5.56 |
7.91 |
6.89 |
12.50 |
a) Calcule o coeficiente de correlação e a recta de regressão para cada um dos conjuntos de dados e verifique que são iguais.
b) Para cada um dos conjuntos de dados faça o diagrama de dispersão e represente a recta de regressão. Em qual das situações acha que pode utilizar a recta de regressão para estimar o valor de y para x=13.5? Justifique a resposta.
17. Os coeficientes de correlação correspondentes a cada uma das distribuições representadas são: - 0.01, - 0.86, 0.89. Observe-as cuidadosamente e faça corresponder a cada um o seu coeficiente de correlação.
[Prob/exerc] [topo]
18. O grupo do Manuel fez um trabalho de estatística para a disciplina de Matemática sobre o número de horas que os alunos da escola passavam por semana em frente à televisão. Face a esta pergunta obtiveram diferentes respostas. Ficaram na dúvida de como haveriam de tratar os valores. Consegues ajudar?
| 0 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 6 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 7 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 9 | 11 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 14 | 14 | 14 |
| 14 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 16 | 16 | 16 |
| 17 | 17 | 18 | 19 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| 20 | 20 | 20 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 23 | 23 | 24 | 24 |
| 24 | 24 | 24 | 25 | 25 | 26 | 26 | 26 | 27 | 27 | 27 | 27 |
| 27 | 27 | 27 | 27 | 27 | 27 | 27 | 27 | 27 | 35 | 35 | 37 |
a) Agruparias em classes? Se sim, em quantas?
b) Constrói uma tabela de frequências relativa e absoluta.
c) Qual foi a classe que incluiu as respostas mais frequentes?
d) Escolhe um símbolo adequado e constrói um pictograma.
e) Este foi um histograma construído pelo Miguel, colega do Rui. Achas que está correcto? Identifica os erros.
19. O pai do Ricardo lê determinado jornal todos os fins-de-semana. Um dia, o Ricardo, curioso, procurou no site de um jornal uma estatística sobre a quantidade de jornais vendidos diariamente e encontrou o gráfico representado a seguir.
a) Partindo desta contagem, elabora um gráfico circular.
b) Qual é a moda? Que significa?
c) Qual foi o jornal menos vendido?
20. A tabela seguinte apresenta os dados relativos à população residente no Norte do país e na cidade do Porto.
|
Distribuição da População residente segundo os grupos etários, 1997 (%) |
||
|
Classes |
Norte |
Porto |
|
0-14 |
18,7 |
15 |
|
15-29 |
16,8 |
14 |
|
30-44 |
26,9 |
20,1 |
|
45-59 |
25 |
24 |
|
> = 60 |
12,6 |
10,8 |
a) Transporta os dados da tabela relativos à zona Norte para um gráfico de barras.
b) Constrói o polígono de frequências.
c) A cidade do Porto tem a mesma percentagem de crianças e jovens que toda a Zona Norte do país?
d) Em que classe se encontra a mediana das idades da população?
e) Qual a classe modal da população residente na cidade do Porto? E no Norte do país?
21. Nuno: Na nossa empresa ganha-se mal em comparação à do lado...
Vasco: Não se ganha nada mal... Olha que a nossa média de ordenados é de 873 €!
Nuno: O quê? Sabes que o salário que a maior parte dos trabalhadores recebe é de 350 €?
21.1 Que medida está aqui evidenciada pelo Nuno?
Vasco: Que é que isso tem?
Nuno: E sabes que a mediana dos salários é de 500 €?
21.2 E agora, o que significa a medida de tendência central que usou o Nuno?
Nuno: Na empresa vizinha o salário mais recebido é de 700 € e a mediana também é de 700€.
Vasco: Continuo a dizer que a média dos nossos salários é de 873 €... E, sabes mais, na empresa vizinha o salário médio é inferior... É só de 750 €...
21.3 Comente este diálogo.
22. O Joaquim andou a investigar qual o tamanho do calçado que a sua família usava e obteve a seguinte tabela:
|
31-33 |
34-36 |
37-39 |
40-42 |
43-45 |
46-48 |
|
1 |
3 |
14 |
11 |
5 |
0 |
a) Em quantas classes dividiu ele os dados obtidos?
b) Qual a amplitude de cada classe?
c) Elabora um pictograma com a informação dada pelo Joaquim com um símbolo à tua escolha.
d) Qual foi a classe que englobou mais respostas dadas? Que nome se dá a essa classe?
e) Qual é a marca dessa classe?
f) Construa o polígono de frequências.
g) Qual a classe que obteve menos respostas?
h) Qual a percentagem de pessoas que calça menos de 40?
23. A Ana resolveu perguntar aos seus amigos e colegas qual era a estação do ano que eles preferiam. Após 180 questionários e a organização dos dados, obteve um gráfico circular. Os números correspondem à amplitude dos ângulos ao centro.
a) Qual foi a percentagem de pessoas que responderam que gostavam mais da Primavera?
b) Quantos responderam que gostavam mais do Inverno?
c) Qual foi a moda? A quantas pessoas corresponde?
d) Qual foi a estação menos escolhida?
24. Fez-se um inquérito a um grupo de jovens sobre as idas ao cinema no último mês e os resultados estão sintetizados no seguinte gráfico:
24.1. Construa uma tabela de frequências absolutas, relativas, relativas em percentagem e relativas acumuladas em percentagem.
24.2. Qual a percentagem de jovens que foi, no máximo, duas vezes ao cinema?
24.3. Indique a moda.
24.4. Calcule:
24.4.1. a mediana
24.4.2. os quartis.
25. Quinze amigos resolveram participar na Mini-Maratona de Lisboa, que consiste em atravessar a ponte 25 de Abril. A distância que os atletas têm de percorrer é 7 Km, tendo realizado para tal vários treinos. No último, as distâncias percorridas foram as seguintes (em Km):
|
|
25.1. Qual a variável estatística em estudo? Classifique-a.
25.2. Construa uma tabela de frequências.
25.3. Qual a distância média percorrida no último treino pelos quinze amigos?
25.4. Dos 15 amigos, quantos correram menos de 7 Km no último treino? Qual a percentagem correspondente?
25.5. Que percentagem dos 15 amigos treinou pelo menos 6 Km?
25.6. Quantos amigos treinaram entre 6 e 7 Km? Qual a percentagem correspondente?
25.7. Indique a classe modal e a classe mediana.
25.8. Indique a moda.
25.9. Indique a mediana e os quartis.
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