Introdução

Escola da Eleia

Zenão de Eleia

 Paradoxos

 de Zenão

Impacto 

na Filosofia

Bibliografia

OUTROS PARADOXOS

«-------  Se esperar um pouco, descobrirá como 12 podem ser 13

            Para além dos paradoxos de Zenão, existem muitos outros paradoxos, dos quais apresentamos alguns:

PARADOXO DAS ÁREAS     

Este paradoxo, parte da figura ao lado apresentada, cuja área facilmente se vê ser 64 (=8x8) pela área do quadrado. Por outro lado, é possível identificar dois triângulos de base 3 e altura 8, e 2 trapézios com altura 5 e bases maior e menor 5 e 3 respectivamente. Aplicando as fórmulas das áreas destes polígonos comprova-se aquilo que se esperava: 2x12+2x20=64.

            O paradoxo está no que acontece se reordenarmos estes 4 polígonos na seguinte disposição que ao lado se apresenta. Mais uma vez, é possível identificar dois triângulos de base 3 e altura 8, e 2 trapézios com altura 5 e bases maior e menor 5 e 3 respectivamente. No entanto, a área deste rectângulo é 65(5x13)! Aparentemente, o movimentar dos polígonos alterou a área e consoante a sua disposição, diferente será a sua área total!? Como seria de esperar, isso não passa de uma ilusão. Embora não seja fácil vislumbrá-lo a olho nu, mas a verdade (esperada) é que de facto a segunda figura não resulta de uma simples reordenação dos polígonos da primeira. Para demonstrá-lo podemos atentar no triângulo ABC que supostamente é recto. Se assim fosse, a razão do segmento ED (3) pelo segmento BA (5) seria igual à razão do segmento CD (8) pelo segmento CA (13), contudo, neste caso isso não se passa.

TOPO

PARADOXO DO BARBEIRO

             Numa vila, existe um barbeiro que faz a barba de todos (e apenas) os que não fazem a própria barba. A questão paradoxal é: Quem faz a barba ao barbeiro?

            Se não for ele então é uma das pessoas que não a faz a própria barba e é ele quem lhe faz a barba (contradição!). Se ele fizer a própria barba, estará a fazer a barba de alguém que não faz a própria barba (contradição!).

            Este paradoxo revela-se análogo ao paradoxo da Biblioteca e ao de Russel, se considerarmos as pessoas da vila em vez de livros (Biblioteca) ou em vez de conjuntos (Russel) e a relação “fazer a barba a”, em vez de “fazer referência a” (Biblioteca) ou em vez da relação “pertencer”(Russel).

TOPO

PARADOXO DE BERTRAND

Este paradoxo foi desenvolvido por Joseph Bertrand (1822-1900). O paradoxo parte da seguinte pergunta: Qual a probabilidade de uma corda escolhida ao acaso dentro de um círculo ser maior que o lado do triângulo equilátero inscrito a esse círculo?

O paradoxal está no facto de se poderem encontrar várias soluções diferentes, não estando nenhuma delas errada! Tome-se dois exemplos de resoluções do problema:

            - Escolher uma corda é o mesmo que escolher dois pontos distintos do círculo. Entretanto, a escolha do primeiro ponto não influencia em nada o tamanho da corda. Fixe-se o primeiro ponto A e construa-se o triângulo de modo que o ponto A seja um dos vértices. Se o segundo ponto estiver no arco oposto ao ponto A, a corda será maior que o lado do triângulo, se estiver em um dos dois outros arcos, será menor. Como os três arcos têm o mesmo tamanho, P = 1/3;

- Uma corda é totalmente definida por seu ponto médio, ou seja, para cada ponto do interior da circunferência existe apenas uma corda que tem esse ponto como seu ponto médio. Seja R o raio do círculo do problema.  Observa-se que os pontos médios das cordas que excedem o lado do triângulo estão contidos no interior de um círculo de raio r = R/2, concêntrico ao círculo do problema. A probabilidade da corda escolhida ser maior que o lado do triângulo é igual à probabilidade de se escolher um dos pontos interiores ao círculo menor de entre todos os pontos interiores do círculo maior. Dividindo a área do círculo menor pela área do círculo maior obtemos P = 1/4;

Esta ambiguidade resulta da ausência da definição do espaço de acontecimentos. Ou seja, quando se diz “ao acaso” abre-se caminho a variadas interpretações do que será o espaço de acontecimentos. Daí que nas duas resoluções apresentadas, fruto da utilização de diferentes espaços de acontecimentos, se tenham obtido diferentes soluções que não estão erradas.

TOPO

PARADOXO DA BIBLIOTECA

Numa biblioteca, existem dois catálogos com características especiais: o primeiro cataloga todos (e apenas) os livros que fazem referência a si próprios; o segundo cataloga todos (e apenas) os livros que não fazem referência a si próprios.

O paradoxo que se coloca é: em que catálogo devem ser incluídos estes catálogos? O primeiro catálogo não oferece problemas: se fizer referência a si próprio então é porque tem que estar em si e estando em si é porque faz referência a si próprio; se não fizer referência a si próprio, é precisamente porque não faz referência a si próprio e portanto tem de estar no segundo catálogo. O primeiro catálogo, simplesmente não pode estar em ambos os catálogos.

É no segundo catálogo que se encontra o paradoxo: se faz referência a si próprio é então deve estar no primeiro catálogo, mas sendo o segundo catálogo, se faz referência é porque não faz referência a si próprio (contradição); se não faz referência a si próprio então, tem de estar no segundo catálogo, mas o segundo catálogo é ele próprio, logo tem de fazer referência em si próprio (contradição!).

TOPO

PARADOXO DE CONDORCET

            Marie Jean de Caritat, marquês de Condorcet (1743-1794), foi quem desenvolveu este paradoxo. Ele mostrou que é possível numas eleições, a maioria preferir o candidato A ao B, a maioria preferir o candidato B ao C, e ainda assim, a maioria preferir o candidato C ao candidato A!

            Este paradoxo centra-se na questão de a “maioria preferir” não ser uma relação de transitividade. Intuitivamente, acreditar-se-ia que se a maioria prefere A a B, a maioria prefere B a C então a maioria deveria preferir C a A, mas isso não se verifica necessariamente. Por exemplo, suponhamos as seguinte preferências eleitorais:

            Podemos verificar que 27 pessoas preferem A a B, 23 preferem B a C e 23 preferem C a A, num universo de 45 pessoas, logo verifica-se o paradoxo.

            Outra forma de apresentar este paradoxo é no seguinte jogo: consideramos 3 piascas como na figura; joga-se dois a dois; cada jogador escolhe uma piasca e fá-la rodopiar; ganha aquele cuja piasca ao parar encoste num número maior.  Neste caso, B tem mais hipóteses de ganhar que A, C tem mais hipóteses de ganhar que B e A tem mais hipóteses de ganhar que C, como se vê nas seguintes tabelas:

TOPO

PARADOXO DO 

ENFORCAMENTO INESPERADO

            A um prisioneiro é dito que será enforcado nalgum dia entre segunda-feira e sexta-feira, mas que ele não saberá em que dia o enforcamento ocorrerá antes de ele acontecer. Ele não pode ser enforcado na sexta-feira, porque se ele ainda estivesse vivo na quinta-feira saberia que o enforcamento ocorreria na sexta-feira, e isso contrariaria o facto de ele nunca saber de antemão o dia em que seria enforcado. Ele não pode ser enforcado na quinta-feira pela mesma razão e o mesmo argumento serve para mostrar que não pode ser enforcado em qualquer outro dia. Todavia, o carrasco chega inesperadamente num dia que não a sexta-feira, surpreendendo o prisioneiro.

TOPO

PARADOXO DE EPIMENIDES

            Epimenides, um filósofo grego do século VI antes de Cristo disse que “Todos os cretenses são mentirosos... Um de seus poetas me disse isso”. Isto é paradoxal no sentido em que se os cretenses são mentirosos e o poeta mentiu ao dizer que são mentirosos então é porque eles não mentem, mas se não mentem então o poeta não ia mentir. Contudo, há resolução para este paradoxo: por um lado, ser mentiroso não implica mentir sempre que se abre a boca, o poeta pode ser mentiroso e para variar ter dito a verdade nesta situação; por outro, se “Todos os cretenses são mentirosos” é mentira, isso não impede que “alguns” cretenses sejam mentirosos e o poeta pode ser um deles e ter mentido a Epimenides.

TOPO

PARADOXO DE EUBULIDES

            Eubulides construiu a seguinte frase: “Esta frase é falsa”. É um paradoxo pode ser interpretado de modo idêntico ao do Mentiroso: se é falsa é porque é verdadeira, mas se é verdadeira então é falsa!

TOPO

PARADOXO DA 

GARRAFA DO DEMÓNIO

Neste paradoxo, da autoria de Robert Louis Stevenson, existe uma garrafa com um génio, que se encontra para venda. O génio realizará um desejo do seu comprador. No entanto, há condições especiais: o comprador paga o preço que quiser, mas, logo após usá-la, o comprador terá de vendê-la, e por um preço menor que aquele que pagou, pois caso contrário ficará condenado a uma vida infernal até ao fim dos seus dias.

Enquanto os preços forem altos não haverá problema, mas eles necessariamente seguirão a tendência de descer e à medida que se aproximar de zero, será mais difícil de encontrar comprador (lembrar que o dinheiro, ao contrário do espaço e do tempo, não é infinitamente divisível) pois quando o preço chegar ao mínimo possível, alguém ganhará uma vida infernal... Portanto, se alguém comprar a garrafa uma primeira vez, é certo que alguém irá ganhar uma vida infernal.

TOPO

PARADOXO DA

LÂMPADA DE THOMPSON

            Uma lâmpada é ligada por meio minuto, depois desligada por um quarto de minuto, depois ligada por um oitavo de minuto e assim sucessivamente. A pergunta colocada é sobre qual o estado da lâmpada após um minuto, ligada ou desligada? Não é possível responder a esta pergunta, que é equivalente a perguntar sobre se o último número inteiro é par ou ímpar.

TOPO

PARADOXO DO MENTIROSO

            Um homem diz “Eu estou a mentir”. Isto é um paradoxo, pois: se de facto está a mentir, então não é verdade que esteja a mentir (contradição!); se estiver a falar a verdade, então está a mentir (contradição!);

TOPO

PARADOXO DA 

RODA DE ARISTÓTELES

            Considerem-se dois círculos concêntricos e suponha-se que o círculo maior fez uma volta, rolando sem escorregar, desde o ponto R até ao ponto S, pelo que a distância entre R e S é igual ao perímetro do círculo maior.

            O paradoxal está em o círculo menor, supostamente colado ao círculo grande, descrever também uma volta, pelo que a distância entre P e Q seria também igual ao perímetro do círculo menor. Assim sendo e como o segmento RS é igual ao segmento PQ concluir-se-ia que os perímetros dos dois círculos são iguais! Como provar que isto é falso?

TOPO

PARADOXO DE RUSSEL

            Este paradoxo desenvolvido por Bertrand Russel (1872-1970), passa pela criação do conjunto A={X:XÏX}, isto é, o conjunto dos conjuntos dos conjuntos que não pertencem a si próprios. O paradoxo está em saber se A pertence a A ou não, pergunta para a qual, de facto não se pode responder, senão vejamos: só há duas hipóteses, ou A pertence a A, ou não pertence; se não pertence a A, então não pertence a si próprio e tem de pertencer a A(contradição!); se pertence a A, então pertence a si próprio, mas nesse caso não pode pertencer a A (contradição!). Logo, não há dúvidas de que se trata de um paradoxo. Para resolver este paradoxo, foi necessário fazer distinção entre dois tipos de colecção, os conjuntos e as classes, sendo que se pode considerar a classe de todos os conjuntos mas não o conjunto de todos os conjuntos.

TOPO

PARADOXO DE S. PETERSBURGO

Este paradoxo, terá sido pela primeira vez publicado por Daniel Bernoulli(1700-1782) (se bem que tenha sido introduzido por Nicolas Bernoulli a Montmort em 1713) Supõe-se que dois indivíduos Pedro e Paulo concordam em jogar um jogo baseado em lançar uma moeda. Neste jogo, lança-se sucessivamente a moeda até dar cara, então, se a moeda tiver aparecido à n-ésima tentativa, Paulo dará a Pedro 2^n-1 moedas. A questão que se coloca é sobre quanto deve Pedro pagar a Paulo pelo privilégio de jogar tal jogo?

Intuitivamente, talvez se indicasse uma qualquer quantia finita, mas na verdade, seja qual for a quantia que Pedro invista por cada jogo, se ele tiver dinheiro suficiente para jogar número suficiente de vezes ele deverá sair a lucrar. Em cada jogo ele tem ½ de probabilidade de ganhar uma moeda, (½)² de ganhar duas moedas e assim sucessivamente, tendo portanto (½)ⁿ de probabilidade de ganhar 2^n-1 moedas. Como probabilisticamente é suposto por cada n jogos, ganhar (½).1+(½)².2+...+(½)ⁿ.2^n-1 moedas e este somatório, quando n tende para infinito, tende também para infinito, conclui-se que se jogar número suficiente de jogos, poderá ganhar uma quantia de dinheiro superior a qualquer valor estabelecido.

TOPO

PARADOXO DE SÓCRATES

            Sócrates disse que “Tudo o que sei é que nada sei”. Isto por si é claramente um paradoxo, pois sabe e não sabe.

TOPO

            Os paradoxos são assuntos que despertam o interesse e curiosidade de muitos, para satisfazer essa curiosidade, existem sites que se dedicam exclusivamente a paradoxos, como é o caso do http://www.ronbarnette.com/Zeno/zeno.html onde são apresentados novos paradoxos.