Introdução

Escola de Eleia

Zenão de Eleia

Impacto

 na Filosofia

Outros

 Paradoxos

Bibliografia

 


PARADOXOS

            A palavra paradoxo, vem do grego parádoxos, que significa contrário à previsão ou à opinião comum, e passou ao português através da palavra paradoxon em latim, que significava coisa contrária à opinião. Assim sendo, um paradoxo é uma afirmação que aparenta ser contraditória ou oposta ao senso comum.

O termo paradoxo é usado mais frequentemente para referir uma afirmação que parece ser contraditória, incrível ou absurda. Uma afirmação paradoxal contém duas ideias (ainda que uma possa não ser referida, mas fazendo parte do senso comum) que se colocam em oposição uma à outra.

Este termo, refere-se a algo que aparenta ser logicamente verdadeiro mas que de facto é tão absurdo que jamais poderia ser verdadeiro. Como uma afirmação paradoxal é feita a partir de pressupostos aceites à partida como verdadeiras, isto significa que pelo menos um deles tem de ser incorrecto e deve ser abandonado.

Paradoxos são ferramentas eficientes para demonstrar que algumas ideias normalmente assumidas como verdadeiras, nem sempre merecem a nossa aderência inquestionável. A utilização dos paradoxos numa demonstração pode ser semelhante à utilização da redução ao absurdo em que a partir de uma certa premissa se chega a uma conclusão que se sabe absurda, provando-se a sua falsidade naquele contexto.   

TOPO

 


PARADOXOS DE ZENÃO

(Ontem Zenão chegou atrasado ao trabalho e espera até ouvires a sua desculpa!)

Acredita-se que originalmente Zenão teria desenvolvido 40 paradoxos, mas apenas 8 terão sobrevivido até aos nossos dias, graças aos escritos de Aristóteles e Simplício, que terão tido acesso à obra de Zenão (destes 8, 4 são sobre a pluralidade e 4 sobre o movimento).  O seu objectivo era defender as ideias de Parménides, de que o universo seria único, imutável e imóvel, pelo que movimento, mudança, tempo e pluralidade não seriam mais do que ilusões. Isto, como é de esperar, atraiu muitas críticas. Os paradoxos de Zenão tentam mostrar que defender a posição contrária à de Parménides é contraditório e absurdo, pelo que a teoria de Parménides pode estar correcta. Zenão não traz novas provas da impossibilidade de movimento, tudo o que faz é mostrar que a teoria pluralista, como a dos pitagóricos, é tão incapaz de explicá-lo como a de Parménides. Todos os argumentos que Zenão usa contra a pluralidade e movimento são na verdade variações do mesmo argumento, que aplica igualmente espaço e tempo.  Observá-lo do ponto de vista espacial, qualquer quantidade de espaço (por exemplo o espaço dentro de um circulo) tem de ser composto de unidades mínimas indivisíveis ou então tem de ser infinitamente divisível. Se for composto de unidades mínimas indivisíveis, elas têm de ter extensão, e deparamo-nos com a contradição de uma extensão que não pode ser divisível. Se for infinitamente divisível, deparamo-nos com a aparente  contradição de supor que o número infinito de partes pode ser adicionado e resultar um número finito (hoje sabe-se que tal é perfeitamente possível).

            Apesar de os 4 paradoxos relacionados com o movimento parecerem ilógicos, para não dizer confusos, eles não são simples de explicar e conduzem a problemas matemáticos. Para os matemáticos gregos, que não tinham uma real concepção de convergência ou infinito, estes raciocínios eram incompreensíveis. Aristóteles considerou-os e resolveu pô-los de parte, deixando-os ao abandono por  quase 2500 anos. Hoje, com o desenvolvimento da matemática, nomeadamente  no estudo de somas infinitas e de conjuntos infinitos, estes paradoxos podem ser explicados com alguma satisfação. Mas ainda agora, o debate continua sobre a validade dos paradoxos e as suas racionalizações.

Devido aos reduzidos elementos que chegaram até aos nossos dias, há alguma incerteza e confusão sobre o exacto enunciado de cada paradoxo, ouvindo-se por vezes diferentes versões, nomes iguais, paradoxos diferentes, aglomeração de paradoxos (há quem considere que é tudo o mesmo paradoxo e apresente como sendo o Aquiles (do paradoxo de Aquiles e da Tartaruga) a atirar uma flecha (do paradoxo da seta) à tartaruga, mas esta nunca lá chega pois tem de percorrer primeiro metade do caminho, depois metade da metade,... (do paradoxo da dicotomia). 

TOPO


Paradoxos da Pluralidade

            Para além dos paradoxos do movimento que  serão apresentados e são os mais famosos, existem argumentos contra a pluralidade que também se atribuem a Zenão e são considerados também paradoxos. 

            – Supondo a Pluralidade, as coisas por um lado seriam tantas quantas são, nem mais nem menos (mas nesse caso seriam limitadas e finitas). Por outro lado, seriam ilimitadas, porque existem outras coisas entre as coisas que existem e assim sucessivamente. Logo as coisas seriam em número finito e infinito.

            – Se o que existe não tivesse tamanho, então não existiria, pois se fosse adicionada a outra coisa, não a faria maior em tamanho, pelo que o que se adicionava era nada. Igualmente se ao subtrair algo o resultado não é maior nem menor, então o que se subtraiu também é nada. 

            - Mas, se existe, tem de ter tamanho e espessura, e uma sua parte tem de estar separada do restante. O mesmo raciocínio se aplicará à parte que está à frente, que também terá tamanho e terá uma parte à frente. E isto continua infinitamente, pois nenhuma parte será a última nem existirá uma parte que não esteja relacionada com outra. Portanto se existem muitas coisas, elas são grandes e pequenas, tão pequenas que não têm tamanho e tão grandes que são ilimitadas.

            – Para tudo o que existe há um lugar, logo, esse lugar também terá um lugar, e assim sucessivamente. Logo existe uma infinidade de locais uns dentro dos outros.

            – Se deixar cair um saco de grãos de milho num chão, ouviremos um ruído e esse ruído deveria ser o resultado do ruído feito por cada grão no saco e o resultado do ruído feito por cada parte do grão. Pelo que cada parte do grão deveria fazer um ruído ao cair no chão. Contudo, se deixar cair uma pequena parte de um grão de milho, não ouviremos nada, por tanto a nossa audição é ilusória e não devemos confiar nela! (Actualmente, sabe-se que o ouvido humano é incapaz de ouvir todos os sons, contudo isso não significa que não seja verdadeiro aquilo que de facto ouve).

TOPO


Paradoxos do Movimento

Dos paradoxos de movimento, os 4 que sobreviveram e a seguir se procura expor são:

Paradoxo da Dicotomia;

Paradoxo de Aquiles e da tartaruga;

Paradoxo da Seta;

Paradoxo do Estádio;

            Destes dois paradoxos, os dois primeiros refutam a suposição de que espaço e tempo são infinitamente divisíveis, enquanto que os outros dois paradoxos, mostram que espaço e tempo não podem ser compostos por elementos mínimos indivisíveis.

 

 Paradoxo da Dicotomia

             O que este paradoxo diz que é que não há movimento porque aquilo que se move tem de chegar a meio do seu percurso antes de chegar ao fim. Que aquilo que se move de um lado para o outro tem de primeiro chegar a meio do seu percurso, nada tem de extraordinário ou paradoxal, a conclusão de que isso implica que o movimento é impossível é que é estranha.

            A explicação para esta conclusão baseia-se no seguinte raciocínio: antes de percorrer todo o percurso tem de percorrer metade do percurso; percorrido metade do percurso, antes de percorrer a outra metade, tem de percorrer metade dessa metade (um quarto do percurso inicial); percorridos três quartos do percurso, ainda tem de percorrer o restante quarto do percurso, mas antes disso, tem de percorrer metade desse quarto do percurso (um oitavo do percurso inicial); e assim sucessivamente, terá de percorrer um conjunto infinito de intervalos. 

            Com um raciocínio semelhante concluir-se-ia que o movimento jamais se iniciaria: antes de percorrer todo o percurso tem de se percorrer metade do percurso; antes de percorrer metade, tem de se percorrer metade da metade, um quarto do percurso; antes disso teria de percorrer metade da metade da metade, um oitavo do percurso; e assim sucessivamente. Existiria um conjunto infinito de intervalos que tinham de ser percorridos, um número infinito de pontos por onde um corpo teria que passar em tempo finito, para que o movimento sequer se iniciasse. Consequentemente o movimento seria impossível, pois não seria possível tocar um número infinito de pontos em tempo finito. Assim sendo, numa pista de corrida ou num estádio, seria sempre impossível chegar a meta, daí que haja quem dê esse nome ao paradoxo, se bem que o mais comum seja dicotomia devido à constante divisão por dois.

            Este paradoxo punha em causa aqueles que defendiam que qualquer espaço seria infinitamente divisível, pois apresentava um raciocínio que a partir desse argumento prova a impossibilidade do movimento (que tanto quanto nos apercebemos é possível!). Pode-se considerar que o erro neste paradoxo é o de confundir uma distância infinita com uma distância finita infinitamente indivisível, como é o caso, pois entre dois pontos não temos uma distância infinita mas uma distância que poderíamos dividir infinitamente. 

A resposta para este problema não passa pelo simples argumento de que  para dizer que de facto juntando todas as metades obter-se-ia a totalidade do percurso, pois poder-se-ia reformular o enunciado (mantendo as ideias subjacentes) substituindo as metades por terços: antes de percorrer todo o projecto tem-se de percorrer um terço do trajecto; mas antes de percorrer um terço, tem-se de percorrer um terço do terço, um nono; e assim sucessivamente mas  o que não implicaria que não se completasse o trajecto.

No entanto, o princípio por trás deste cálculo, dá resposta ao paradoxo: somados um número infinito de números, pode-se obter um número finito. O raciocínio de Zenão não está errado, simplesmente faz uso de um pressuposto errado, que é o de que seria impossível transpor parcelas infinitas de espaço num tempo finito. Jamais se poderia em tempo finito contactar com um número infinito de coisas, só que isso não inviabiliza que se contacte com coisas infinitas no que diz respeito à divisibilidade porque, neste sentido, o próprio tempo é também infinitamente divisível. Existem infinitos pontos no espaço percorrido, mas também são infinitos os momentos do tempo utilizado para percorrê-lo.

           Zenão baseia este paradoxo no princípio de que se algo é divisível então seria infinitamente divisível. Poder-se-ia contrariar estes paradoxos postulando uma teoria atomista segundo a qual toda a matéria seria composta por um grande número de pequenos e indivisíveis elementos. Contudo, outros paradoxos de Zenão causam problemas precisamente por ele considerar a existência de tais elementos indivisíveis.

TOPO

 


Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga

            O que este paradoxo diz é que numa corrida em que o mais lento começa com vantagem, enquanto o mais lento estiver a correr nunca será ultrapassado pelo mais veloz, pois aquele que persegue tem primeiro de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento começou, pelo que o mais lento tem necessariamente de já estar alguma distância à frente. Ou seja, antes de apanhar o mais lento, o mais veloz terá sempre de alcançar o ponto onde o mais lento estava anteriormente.

            Na transmissão tradicional deste paradoxo temos uma corrida entre Aquiles, o herói grego da Ilíada de Homero, forte e corajoso como nenhum, simbolizando a velocidade, e opostamente a tartaruga, símbolo da lentidão.

            A conclusão parece ser um pouco estranha, mas é o resultado do seguinte raciocínio: a tartaruga (o mais lento) começa a corrida com uma determinada vantagem sobre Aquiles (o mais veloz); quando Aquiles chega ao ponto de onde começou a tartaruga, esta já lá não está e apesar de não ter andado tanto como Aquiles, já está num segundo ponto mais à frente; prosseguindo a corrida, quando Aquiles chega a esse segundo ponto, já a tartaruga estará mais à frente num terceiro ponto; quando Aquiles chegar a esse terceiro ponto, já a tartaruga estará mais à frente num quarto ponto; e assim sucessivamente. Logo, apesar de Aquiles estar cada vez mais próximo da tartaruga nunca chega a alcançá-la, pois sempre que chega ao ponto onde estava a tartaruga num momento atrás, já ela está mais à frente. Portanto, desde que não pare, a tartaruga irá sempre à frente e ganhará a corrida, pois Aquiles poderia correr infinitamente que não a apanharia!!

            A lógica deste paradoxo é semelhante à  do paradoxo da dicotomia, com a diferença de em vez de se ter um corpo em movimento, agora tem-se dois corpos em movimento com velocidades diferentes. Como seria de esperar, é possível Aquiles ultrapassar a tartaruga, no entanto, o raciocínio apresentado até é lógico, com excepção da conclusão.

            Zenão, com este paradoxo e o da dicotomia, pretendia desacreditar os defensores da “continuidade” de um movimento, ou seja, aqueles que defendiam a infinita divisibilidade do espaço. Neste paradoxo, tal como no paradoxo da dicotomia, faz-se confusão entre uma distância infinita e uma distância infinitamente divisível, pois podemos considerar que Aquiles tem de percorrer um número infinito de intervalos que são aqueles que a tartaruga tem de vantagem sobre ele sempre que chega ao ponto onde ela estava antes de iniciar esse intervalo: o intervalo inicial entre Aquiles e a tartaruga; o intervalo que a tartaruga percorreu enquanto Aquiles chegou onde ela estava no início; o intervalo que Aquiles percorreu até onde a tartaruga avançou enquanto ele chegou ao ponto inicial da tartaruga; e assim sucessivamente.

            Vejamos um exemplo prático: suponhamos que Aquiles parte com um avanço de 1000 metros e que se move 10 vezes mais depressa que a tartaruga; quando Aquiles acaba de percorrer 1000 metros, já a tartaruga percorreu 100 metros (reduziu-se a distância em 900 metros, sendo agora de 100); Aquiles percorre estes 100 metros, mas durante este tempo, a tartaruga percorre 10 metros (reduziu-se a distância para 10 metros); Aquiles percorre estes 10 metros, mas durante este tempo, a tartaruga percorreu um metro (reduziu-se a distância para 1 metro); Aquiles percorre este metro, mas entretanto já a tartaruga avançou 0,1 metros (reduz-se a distância para 0,1 metro); e assim sucessivamente. Quererá isto dizer que de facto Aquiles não apanha a tartaruga? Não, mais uma vez o raciocínio subjacente a este paradoxo pressupunha que somando uma infinidade de números se conseguiria o infinito, mas isso não é verdade. Temos que

e

portanto, continuando com este raciocínio, Aquiles nunca faria mais de 1112 metros e a tartaruga não faria mais de 112 metros, o que nos remete para a problemática do paradoxo da dicotomia.

            Para vermos quando é que Aquiles ultrapassaria a tartaruga, temos de introduzir a variável tempo. Consideremos que Aquiles se moveria a uma velocidade constante de 10 metros por segundo e que portanto a tartaruga se moveria 1 metro segundo. Observemos as diferenças:

Tempo (segundos)

Distância (metros)

0

1000

100

100

110

10

111

1

111,1

0,1

111,11

0,01

E generalizando:

Tempo (segundos) Distância (metros)

100+10+1+0,1+...+103-n = Sn

103-n

O erro deste paradoxo está em pensar que com aquela lógica o tempo se estenderia para o infinito, mas isso não é verdade, pois limn®oo Sn » 111 e isto enquanto a distância tende para zero.

Se preferirmos não recorrer ao cálculo da soma, poderíamos dividir ambos os lados por 10 e subtrair à expressão original:

 

            Logo, seguindo esta lógica, apenas se aproximaria do segundo 111, até ao qual, de facto, Aquiles não apanha a tartaruga, já o que se passa depois é outra história: após 112 segundos já Aquiles terá ultrapassado a tartaruga e afastar-se-á dela cada vez mais. Para evitar este cálculo de limites, poder-se-ia simplesmente pensar onde estariam Aquiles e a tartaruga após 112 segundos: Aquiles teria percorrido 1120 metros e a tartaruga teria percorrido 112 metros (que somados à vantagem de 1000, daria 1112 metros) portanto Aquiles já ultrapassou a tartaruga e a menos que haja algum problema com o seu famoso calcanhar, nada o impedirá de ganhar a corrida.

            Tal como no paradoxo da dicotomia, a problemática deste paradoxo, centra-se na soma infinita de números, ou seja, nem sempre uma soma infinita de números resulta em infinito. É totalmente compreensível a confusão que paradoxos como este causaram, se tivermos em conta que só muitos séculos mais tarde se desenvolveriam os conceitos de continuidade, limites de sucessões e somas infinitas. O modo como numa corrida se pode percorrer um infinidade de pontos em tempo finito (apesar de infinitamente divisível) só seria explicado muito séculos depois com o desenvolver da matemática.

TOPO

 


Paradoxo da Seta

            Este paradoxo diz que se um objecto está em repouso quando está num espaço igual a si próprio (quando se encontra num local de dimensões iguais a si próprio), então uma seta em voo está parada, pois um corpo em movimento, ocupa exactamente um espaço igual às suas dimensões, em cada instante. Assim sendo, o movimento é impossível, pois um objecto está sempre estacionário, em repouso.

            Este paradoxo pressupõe que o tempo seja feito de momentos, sendo estes a sua mais pequena medida e indivisíveis. Uma seta tem sempre de estar em movimento ou em repouso, mas para haver movimento, ela teria de estar numa posição no princípio de um momento e noutra posição no fim de um momento, mas ela ocupa sempre um espaço que é igual as suas próprias dimensões, logo isso não é possível pois implicaria que o momento fosse divisível. Portanto, resta apenas a hipótese de a seta estar imóvel, em repouso.

            Os paradoxos da Dicotomia e de Aquiles atacavam a hipótese de uma linha ser infinitamente divisível (tentavam atingir um absurdo partindo desse princípio), este paradoxo e o paradoxo do Estádio, atacam a hipótese de uma linha ser composta por um número finito de indivisíveis. Sem pressupor a existência de momentos, unidade mínima e indivisível de tempo, o raciocínio não teria lógica. Este paradoxo constitui portanto um obstáculo aos defensores de uma concepção atomista do tempo e do espaço, pois este paradoxo poderia ser facilmente contornado se se considerasse o espaço como sendo infinitamente divisível, mas o atomistas defendem precisamente o contrário.

TOPO


Paradoxo do Estádio

            Este paradoxo diz que metade do tempo é igual ao seu dobro! Ouvindo isto assim parece impossível e totalmente ilógico, mas mais uma vez Zenão encontrou um raciocínio para justificar esta conclusão. Neste paradoxo, temos num estádio três filas de corpos (com igual número de corpos): uma está estacionária no meio e as outras duas movem-se a velocidades iguais e em direcções opostas, partindo uma do princípio e outra do fim do estádio.

            Chamemos A à fila parada, B e C às filas em movimento. A conclusão baseia-se no facto de: em primeiro lugar, as filas B e C demoram o mesmo tempo a chegar junto da fila A; o tempo que leva as filas B ou C a passar por A é igual (percorrem igual espaço em igual tempo); as filas B e C passam por metade de A antes de começarem a passar uma pela outra; então, o primeiro corpo da fila B passa por metade da fila A, enquanto passa pela totalidade da fila C (e vice-versa para a fila C); pressupondo-se que cada fila leva o mesmo tempo a passar por cada corpo de outra fila, então o tempo que um corpo da fila B levaria a passar metade da fila A seria igual ao tempo que levaria a passar a fila C, pelo que metade do seu tempo seria igual ao seu dobro!

            Ou seja, se pensarmos que todas as filas representam a mesma dimensão de espaço e que se leva o mesmo tempo a passar por elas  quer estejam em movimento ou não, então B levaria tanto tempo a passar por A como por C, mas como se viu, leva tanto tempo a passar por C como por metade de A logo metade do tempo seria igual ao seu dobro!

            Actualmente, sabe-se que se dois corpos passam um pelo outro a velocidades iguais em direcções contrárias então a velocidade a que passam um pelo outro é igual à soma dos dois e portanto igual ao dobro da velocidade de um deles, mas isso não conduz a esta conclusão. O paradoxal desta situação, está em considerar que uma fila passaria por outra sempre no mesmo tempo, quer ela estivesse em movimento ou parada. O porquê desta “falha”, reside num pressuposto, que também há no paradoxo da Seta e que se relaciona com o intuito deste paradoxo, que era atacar os defensores de que uma linha, o espaço ou o tempo, seriam compostos por um número finito de indivisíveis, ou seja, aqueles que defendessem uma concepção atomista do tempo e do espaço. Se considerássemos que existiam unidades mínimas de espaço e de tempo, então um corpo que viaja a velocidade constante deveria passar em cada momento (unidade mínima de tempo) por um número fixo das unidades mínimas de espaço, quer elas estivessem em movimento ou em repouso (segundo a perspectiva de que no movimento cada elemento contactaria com todas as unidades mínimas por onde passaria, que seriam em número finito). Resumindo, o paradoxo resulta de se considerar que se levaria o mesmo tempo a passar por um corpo independentemente de estar em movimento ou em repouso.

TOPO