Método de Arquimedes

 

     O primeiro método para calcular p, com alguma precisão, surgiu com Arquimedes. Este começou por perceber que o perímetro de polígonos regulares de n lados inscritos na circunferência  é menor que o perímetro da própria circunferência, e que o perímetro de polígonos regulares de n lados circunscritos à circunferência é maior que o da circunferência. E, à medida que aumenta o número  de lados dos polígonos regulares, inscritos e circunscritos, estes vão-se assemelhando progressivamente com a circunferência, e, consecutivamente, os seus perímetros vão aproximar-se, como podemos observar na figura 1.

              

 

                                                 Figura 1

 

       Consideremos então um polígono regular de n lados, circunscrito a um circunferência de raio r. Seguidamente, traçam-se os segmentos de recta que unem o centro da circunferência aos vértices do polígono, obtendo-se assim n triângulos congruentes. E, por construção estes triângulos são isósceles, visto dois dos seus lados serem exactamente o raio da circunferência. Posteriormente, traçam-se segmentos tirados pelo centro perpendicularmente a cada lado. Estes segmentos são as alturas dos n triângulos isósceles em que o polígono foi dividido. Estes triângulos são também iguais entre si , e, qualquer um deles toma no polígono o nome de apótema. Obtemos então um polígono regular constituído por 2n triângulos rectângulos congruentes, assim como mostra a figura 2.

 

                        

                                               Figura 2

 

    Como se pode observar, obtivemos 2n triângulos rectângulos, portanto o ângulo A vale  e um cateto é igual à metade do lado do polígono circunscrito e o outro é o raio da circunferência. Assim, o perímetro do polígono circunscrito (Pc), será igual a 2n vezes p.

                              

                                                  Figura 3

 

 

Através da figura 3, podemos observar que:

 

logo,

 

    Portanto,

 

    Como sabemos o perímetro da circunferência é dado por 2pr, então

             

 

                                                        (1)

 

    Em particular, para n = 6, obtemos um hexágono regular. Logo,

                 

 

assim,   

 

                                                       (2)

 

    Consideremos agora um polígono regular de n lados, inscrito na circunferência de raio r. E, procedendo com o polígono inscrito assim como procedemos com o circunscrito, obtemos mais uma vez, um polígono constituído por 2n triângulos rectângulos congruentes.

                          

                                                Figura 4

 

    Como se pode observar  na figura 4, o perímetro ( Pi ) do polígono regular inscrito de n lados, pode ser expresso por 2n vezes p. Então,

 

                              

                                                          Figura 5

 

    Através da figura 5, podemos observar que

 

então,

portanto,

 

 

    Como o perímetro  da circunferência é dado por 2pr, logo temos que

 

então,    

                                                                              (3)

 

    Assim, por (1) e (3) concluímos que  

 

 

    E, em particular para n = 6 temos

 

 

logo,   

                                                            p > 3                                (4)

 

    Pelas desigualdades (2) e (4) podemos concluir que,  para n = 6 ( hexágono regular)

                                             3 < p < 3,4641

 

    Aumentando progressivamente o número de lados do polígono, obtemos valores, cada vez mais exactos de p.

 

    Usando este método, Arquimedes chegou a aproximações de p, para n = 12, n= 24, n = 48 e por fim para n = 96. Com o polígono regular de 96 lados, Arquimedes demonstrou que

 

3,1410 < p < 3,1428

 

    Podemos observar na figura 6, o quadro dos valores obtidos por Arquimedes:

 

 

N.º de lados

 

Polígono inscrito

 

Polígono circunscrito

6

3

3,4641

12

3,1058

3,2154

24

3,1326

3,1597

48

3,1393

3,1461

96

3,1410

3,1428

  Figura 6

 

        Deve-se ter sempre presente que Arquimedes não dispunha do nosso sistema de numeração escrita, mas teve de efectuar todos os cálculos com o sistema de numeração grego.

    Arquimedes, como se poderia pensar, não obteve apenas uma fina estimativa para p , mas, levou também muito longe a prática da ideia de integral. No entanto, só cerca de 20 séculos mais tarde, e após muito trabalho nesse sentido, diversas ideias e contribuições de muitos matemáticos se chegou à criação admirável do cálculo integral.

 

Nota: Existe ainda um outro método para o cálculo do p, que consiste em considerar  as áreas dos polígonos regulares. Este outro método tem em conta que, quanto maior for o número de lados do polígono, mais próxima estará a sua área da área do círculo.

 

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