O p é um número com características muito especiais. Uma delas é ser transcendente, ou seja, não é um número algébrico, pois não é raiz de nenhum polinómio com coeficientes racionais. Para demonstrarmos a transcendência do p vamos recuar um pouco no tempo e conhecer alguns resultados que são importantes para a nossa demonstração.

    Em 1873, Charles Hermite ( 1822-1901 )provou que o número e é transcendente. Disto conclui-se que a equação finita

a e^r + b e^s + c e^t +… = 0

não pode ser satisfeita se r, s, t, … forem números naturais e a, b, c, … forem números racionais, nem todos iguais a zero.

    Em 1882, Ferdinand Lindemann ( 1852-1939 ) teve finalmente sucesso em encontrar uma extensão do teorema de Hermite, para o caso em que r, s, t, … e a, b, c, … são números algébricos, não necessariamente reais. O teorema de Lindemann pode então ser enunciado da seguinte forma:

    Se r, s, t, …, z são números algébricos, reais ou complexos distintos, e a, b, c, …, n são números algébricos reais ou complexos, em que pelo menos um difere de zero, então

a e^r + b e^s + c e^t +… + n e^z     ( 1 )

não pode ser igual a zero.

    Usando o teorema de Euler, na forma

e^ip + 1 = 0  

temos uma expressão da forma ( 1) com a = b = 1 algébricos, todos os outros coeficientes iguais a zero. Substituímos s = 0 algébrico e r = ip . Então ip tem de ser transcendente, e como i é algébrico, p tem de ser transcendente.

    A possibilidade da quadratura do círculo pela construção euclideana dependia inteiramente do p ser ou não algébrico. O teorema de Lindemann provou então a irracionalidade do p , e provou que o problema da quadratura do círculo é impossível pelas regras da geometria grega. Portanto a transcendência do p implica que não existe uma construção com régua e compasso, para construir um quadrado com igual área a um círculo dado. Isto é o fim da história do p e da quadratura do círculo.