Distinção entre número natural e número primo:

O Conjunto dos Números Naturais

Os gregos, principalmente os Pitagóricos, davam-lhe grande importância, ao ponto de aparecerem com eles os números “figurados” (números triângulares, números quadrados, números pentagonais, ect).

Com Euclides,( aproximadamente 300 A.C ) o conceito de número natural, aparece no seu livro Os Elementos de maneira muito mais trabalhada do que com os Pitagóricos. Dizia Euclides, numa tentativa de definição de número: “Unidade é aquilo pelo qual todo o ser é uno”. Esta definição não foi aceite pela sua obscuridade. O que significa ser uno?. Além de mais tal definição não encara o número 1 como sendo número.Completando a sua definição, Euclides enuncia outra:“Número é a pluralidade, composta de unidades”

A influência dos Pitagóricos e de Euclides estendem-se por vários séculos; por exemplo , em Santo Agostinho, encontramos a afirmação de que “ A obra da criação, completou-se no sexto dia, por ser 6 um número perfeito”.(um número perfeito, é um número cujo resultado da soma dos seus divisores naturais é ele mesmo; por exemplo o número 6 tem como divisores 1,  2,  3 e 1+2+3=6, 28 tem como divisores 1, 2, 4, 7, 14 e 1+2+4+7+14=28.)
 

Alguns povos primitivos não possuem palavras para números, com a excepção de um, dois e muitos. Cantor, sugeriu o símbolo À0 ( «alefe zero») para designar o número cardinal infinito representado pelo conjunto N  dos números naturais. Mostrou que esse número obedecia a leis aritméticas  muito diferentes das que se aplicam aos números finitos: por exemplo,À0+1=À0,  À0+À0 =À0  , etc.

A matemática pede-nos que acreditemos num conjunto infinito. Que significa afirmar a existência de um conjunto infinito? Por que devemos acreditar nela? Numa apresentação formal, esse pedido é feito pela axiomatização. Por exemplo: Axioma do infinito. Existe um conjunto indutivo( isto é infinito). Comparemos com o enunciado do axioma de Deus apresentado por Maimonides ( Mishneh Torah, livro I ,capítulo 1). O postulado elementar  dos postulados elementares e o suporte de toda a ciência é a compreensão da existência de um primeiro ser que é a causa da existência de todas as outras coisas.

Nesta sequência encontra-se o paradoxo de Galileu que é a observação de que existem tantos quadrados perfeitos quanto inteiros, e vice-versa.

 1Û1
 2Û4
 3Û9
 4Û16
 5Û25
...Û...

Este paradoxo  pode ser compreendido se tivermos em atenção  que o fenómeno descrito é característico dos conjuntos infinitos. Um conjunto infinito é  simplesmente qualquer conjunto que possa ser posto em correspondência biunívoca com um seu subconjunto estrito.
 

Os Números Primos

Um número p que não admita outro divisor a não ser ele próprio e a unidade é dito número primo se ele for maior que 1. Por outras palavras, um número primo é aquele que admite apenas dois divisores.Os números primos não podem ser decompostos num produto de factores menores que eles.Os números  que podem ser decompostos num produto de factores primos é chamado número composto.