Demonstração de Perott ( datada de 1881)

É necessário saber que a série S1/n² é convergente.

E tem soma inferior a 2 ( de facto é um resultado famoso transcrito por Euler de que a soma desta série é igual a p²/6).

 Temos que S1/n² < 1 + S 1/(n(n+1)) = 1 + S ( 1/n  - 1/(n+1)) = 1+1 = 2

Seja
        d = 2 -S 1/n²

Suponhamos que existem apenas r números primos q1 < q2 < … < qr. E seja N um qualquer número inteiro tal que q1q2..qr < N. O número de inteiros m inferiores ou iguais a N que não são divisíveis por um quadrado é pois 2^r( que é o número de todos os possíveis conjuntos de primos distintos), porque cada inteiro é de modo único escrito como produto de números primos. O número de inteiros m inferiores ou iguais a N divisíveis por qi² é quanto muito N/qi² logo o número de inteiros m inferiores ou iguais a N divisíveis por algum quadrado é quanto muito SN/qi² Consequentemente,

 N =< 2^r + SN/qi² < 2^r + N (S 1/n² - 1) = 2^r + N (1-d ).

Escolhendo N tal que Nd >= 2^r, segue-se uma contradição.

Suponhamos que existem apenas r números primos q1< q2 <…<qr.
Seja t ³1 um inteiro qualquer, e seja N=qr ^t. Pelo teorema da factorização única temos que cada inteiro m, 1£ m £ N, é m = q1^f1 q2^f2...qr^fre a sucessão (f1, …, fr) com cada fi ³ 0, é unicamente definida. Note-se também que p1^fi£ m £ N £ pr^t. Sendo E =( log pr) / ( log p1 ) então fi £ tE. Então, o número N é quanto muito o número de sucessões ( f1, f2, …, fr); consequentemente, temos que pr^t = N £ (tE+1)^r £ t^r(E+1)^r. Se t for suficientemente grande, esta inequação não se mantém, o que mostra que o número de primos tem de ser infinito.

Assuma-se que existem apenas r primos q1< q2 < … < qr. Seja N=q1q2…qr e para cada i = 1, …, r seja
Qi = N/qi. Note-se que qi não divide Qi, enquanto qi divide Qj, para todo o i diferente de j . Seja  S = S Qi ( 1£ i£ r)
Se p é um número primo que divide S, então p tem de ser diferente de qi porque qi divide Qj ( para j diferente de i ), mas qi não divide Qi. Logo existe ainda um outro número primo.

De facto a demonstração de Metrod, é mais uma variante da prévia demonstração de Stieltjes (1890), que por si própria segue a mesma ideia fundamental de Euclides. Por isso consideramo-la apenas como "metade" de uma demonstração. Stieltjes fez o seguinte : Seja N = mn uma qualquer factorização. Cada qi divide um dos m,n mas não ambos. Logo m+n não é divisível por nenhum dos existentes números primos, o que é impossível devido a m+n diferente de 1.Se supusermos n =1, temos a demonstração de Euclides.