Página dos Números Primos
Página projecto da cadeira de ICM do DEFCUL

 História dos Números Primos

" Podemos em especial nas ciências matemáticas, observar a ordem, a simetria e a restrição; e estas são as formas superiores do belo." Aristóteles, Metafísica

Os números primos, e as suas propriedades, foram pela primeira vez estudados extensivamente pelos antigos matemáticos Gregos.

Os matemáticos da escola de Pitágoras (500 a 300 A.C.) estavam interessados nos números pelas suas propriedades numerológicas e místicas. Entendiam a ideia de primalidade, e revelavam interesse em números perfeitos e amigáveis (um número perfeito, é um número cujo resultado da soma dos seus divisores naturais é ele mesmo; por exemplo o número 6 tem como divisores 1,  2,  3 e 1+2+3=6, 28 tem como divisores 1, 2, 4, 7, 14 e 1+2+4+7+14=28. Um par de números amigáveis, é por exemplo 220 e 284, e são tais que, os divisores de um somam-se ao do outro e vice-versa).

Quando Os Elementos de Euclides apareceram  (cerca de 300 A.C.) já muitos dos resultados importantes sobre números primos tinham sido provados. No livro IX d'Os Elementos, Euclides prova que existem infinitos números primos. Esta é uma das primeiras demonstrações conhecidas a usar o método da contradição, com vista à obtenção de um resultado. Euclides dá-nos também, uma demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética - qualquer inteiro pode ser escrito como produto de números primos em essencialmente uma única maneira -. Também mostrou que se um número da forma 2n -1 é primo, então o número desta forma é um número perfeito.

O matemático Euler (1747) mostrou que todos os números pares perfeitos  são desta forma .
Não é conhecido até à data qualquer número perfeito ímpar.

A 200 A.C. o Grego Erastostenes apresentou um algoritmo para calcular números primos, o Crivo de Erastotenes.

Segue-se depois um largo período de tempo de interregno, na História dos Números Primos, durante a chamada Idade Negra.

O seguinte desenvolvimento na História dos Números Primos, é-nos fornecido por Fermat no início do século XVII.
Este provou uma especulação conjecturada por Albert Girard, que diz que todo o número primo da forma 4n+1 pode ser escrito de um só modo como soma de dois quadrados e, foi capaz de nos mostrar que qualquer número pode ser escrito como soma de quatro quadrados.Criou um novo método para factorizar números primos grandes.Também provou o que é hoje conhecido como Pequeno Teorema de Fermat (para distinguir do  denominado Grande Teorema de Fermat). Seja n um número primo então para qualquer número inteiro a, tem-se que :ap ºa (mód. p) Tal teorema prova em parte, o que foi chamado de Hipótese Chinesa , que data de cerca de 2000 anos antes, e que diz que um inteiro n é primo, se e só se o número 2n -2 é divisível por n. A outra metade deste  teorema é falsa; vê-se facilmente com o exemplo de que 2341-2 é divisível por 341, e 341=31x11.

O Pequeno Teorema de Fermat, é a base de muitos resultados da Teoria dos Números, e de métodos conceptualizados com vista a determinação de números primos, que ainda hoje são utilizados em larga escala, em computação.

Fermat correspondeu-se com outros matemáticos do seu tempo, e em particular com o monge Marin Mersenne.
Numa das suas cartas a Mersenne, conjecturou que os números da forma 4n -1 , Fn (número de Fermat) são sempre primos, mas o resultado falha.

Números desta forma são chamados de Números de Fermat e, só cerca de 100 anos mais tarde é que Euler demonstra que tal tem uma falha:  232  + 1=4294967297 que é divisível por 641 e logo não é primo.

Os Números de Fermat da forma 2n  - 1 também atraíram a atenção, devido à demonstração óbvia de que caso n não seja um número primo, então estes números são compostos, logo factorizáveis. Estes são vulgarmente chamados de Números de Mersenne Mn , devido ao estudo que este matemático lhe dedicou. Nem todos os números da forma 2n  -1 com n primo são números primos.

Por exemplo 211 -1 =2047=23x89  é composto; no entanto tal não foi descoberto  até cerca de 1536. Por muitos anos os números desta forma forneceram-nos os maiores números primos . O número M19  foi provado como sendo primo por Cataldi em 1588, e este foi o maior número primo por cerca de 200 anos, até que Lucas nos mostrou que M127  (que é um número que tem 39 dígitos) é primo; tal número foi o recordista até à era do computador electrónico. Em 1952 os Números de Mersenne ,M521 , M607 , M1279 , M2203 , M2281são descobertos por Robinson com a ajuda dum primitivo computador electrónico, o que estabelece o inicio da era electrónica.

Até à data da realização desta página é conhecido um total de 37 Números Primos de Mersenne. O maior conhecido é M3021377 , que tem 909526 dígitos decimais.

O trabalho de Euler tem também um grande impacto na Teoria dos Números em geral, e na Teoria dos Números Primos em particular. Ele estende o Pequeno Teorema de Fermat e introduz a função-pi de Euler.

Como mencionado já atrás, factoriza o quinto número de Fermat : 232 +1 (Fn ), descobre 60 pares de números amigáveis, e conjectura (mas não é capaz de provar) o que é conhecida como a Lei da Reciprocidade Quadrática.
É o primeiro a aperceber-se que a Teoria dos Números pode ser estudada usando as ferramentas da Análise, e em fazendo tal funda a Análise da Teoria dos Números. Mostra-nos que, não só  a conhecida série harmónica (å1/n, com 0£n£¥)  é divergente, mas como a série harmónica com n é primo (å1/n, com nÎN, e n primo), também é divergente.
A soma dos n termos da série harmónica ( å1/n, com 0£n£¥) cresce logaritmicamente, enquanto a outra série diverge ainda mais lentamente como log(log(n)). Isto mostra que somando os inversos de todos os números primos, temos que o mais poderoso dos computadores modernos, nos dá como valor dessa soma cerca de 4, enquanto a série é divergente, isto é converge para infinito.

À primeira vista os números primos parecem não ter uma ordem especifica de aparecimento. Por exemplo em relação aos 100 primeiros números imediatamente antes de 10 000 000  existem apenas 9 números primos, enquanto nos 100 números que se seguem existem apenas 2 números primos. No entanto a uma ainda maior escala, a distribuição de números primos parece ser mais regular.Legendre e Gauss fizeram ambos extensos cálculos sobre a densidade dos números primos. Gauss (que era um prodígio do cálculo) disse a um amigo que sempre que tinha 15 minutos de folga, os ocupava contando os números primos num alcance de 1000 números. No fim da sua vida estimou-se que Gauss tinha contado todos os números primos até 3 milhões.

Legendre e Gauss chegaram ambos à conclusão de que para um n grande a densidade de números primos perto desse mesmo n é semelhante a 1/log(n). Legendre deu uma estimativa para p(n) dos números de primos  relacionados com n de p(n)=n/((log(n))-1.08366) enquanto Gauss estimou isso mesmo em termos de integral logarítmico p(n)= ò 1/log(t) dt (onde o alcance de integração é de 2 a n).
Pode ver-se a estimativa de Legendre e compará-la com a estimativa de Gauss.

A conjectura de que a densidade de números primos é 1/log(n) é conhecida como o Teorema dos Números Primos.

Tentativas de a provar continuaram pelo século XIX a dentro com progressos notáveis por Chebyshev e Riemann  que foram  capazes de relacionar o problema com algo semelhante à chamada Hipótese de Riemann : uma conjectura ainda por demonstrar sobre os zeros no plano complexo, de uma função chamada de função-zeta Riemann. O Resultado foi eventualmente provado (usando poderosos métodos da Análise Complexa) por Hadamard e Vallée Poussin em 1896.

Ainda há muitas questões por desvendar (algumas delas que datam de há centenas de anos atrás) relacionadas com  números primos...

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