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A
teoria dos números é, simultaneamente, um dos ramos mais
elementares da matemática, uma vez que trata, essencialmente, das
propriedades aritméticas dos inteiros 1, 2, 3, ..., mas é
também um dos mais complicados, na medida em que está repleta
de problemas e técnicas difíceis.
Entre os tópicos mais avançados da teoria dos números podem ser seleccionados três, que são particularmente interessantes: a teoria das partições, o "último teorema" de Fermat e o teorema dos números primos.
A teoria das partições estuda de quantas maneiras pode um número ser apresentado como soma de outros mais pequenos. Por exemplo, incluindo a partição "nula", dois pode ser representado por 2 ou por 1+1, três pode ser representado por 3, 2+1,1+1+1;quatro por 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1. O número de maneiras diferentes em que pode ser decomposto um número não é de modo algum um assunto simples e tem sido objecto de estudo desde meados do século XVIII.
O teorema dos números primos, que é o assunto desta página, é também uma grande atracção e um mistério ,estando relacionado com alguns dos temas centrais da análise matemática. Este teorema está ligado àquele que possivelmente é o mais famoso dos problemas matemáticos em aberto - a chamada hipótese de Riemann. O teorema dos números primos é um dos melhores exemplos, em toda a matemática, de busca de ordem a partir do caos.Pouco depois de uma criança aprender a multiplicar e dividir, ela nota que alguns números são especiais. Quando um número é factorizado, é decomposto nos seus constituintes básicos - os factores primos. Assim, 6=2x3, 28=2x2x7, etc. e estas decomposições não podem ser simplificadas. Os números 2, 3, 5, 7, ... são números primos, ou seja, não podem ser decompostos em produtos de números menores diferentes de si e da unidade. Entre os inteiros, os números primos desempenham um papel que é análogo ao dos elementos da química. Façamos uma lista dos primeiros números primos:
2 3
5 7
11 13
17 19
23 29
31 37 41
43 47
53 59
61 67
71
73 79 83
89 97
101 103 107
109 113 ...
Esta lista não tem fim.
Pode-se
demonstrar que o conjunto dos números primos é infinito.
[Demonstração
de Euclides]
[Outras
demonstrações]
A segunda
característica destes números que nos surpreende é
a ausência de qualquer padrão ou regularidade aparentes.
É claro que todos os primos excepto 2 , são ímpares,
sendo portanto, a diferença entre dois números primos consecutivos
um número par. Porém, parece ser completamente aleatório
que número par é .
Existem
nove números primos entre 9 999 900 e 10 000 000:
9 999 901 9 999 907
9 999 929 9 999 931
9 999 937 9 999 943
9 999 971 9 999 973
9 999 991
Mas já entre os cem números seguintes , 10 000 000 até 10 000 100, existem apenas dois:
10 000 019 e 10 000 079
“ Depois de vermos estes números temos a sensação de estarmos na presença de um dos inexplicáveis segredos da criação" Zagier
Existem sequências arbitrariamente grandes de inteiros que não contêm nenhum número primo.
Será que cada número par é a soma de dois números primos impares? (Conjectura de Goldbach).
Existirão infinitos números primos gémeos , como 11 e 13 ou 17 e 19 ou ainda como 10 006 427 e 10 006 429?
Não se sabe a resposta mas a maioria dos matemáticos estão convencidos que , provavelmente esta conjectura é afirmativa.