Quantos números primos existem ?

Escreveremos a sucessão infinita e  crescente de números primos da forma

 p1 = 2 ,  p2 = 3,   p3 = 5,   p4 = 7,  … ,  pn ,  ...

A demonstração de Euclides é muito simples; no entanto, não nos dá qualquer informação sobre o novo número primo, unicamente de que ele é quanto muito igual ao número P, mas pode bem ser que seja mais pequeno que este.

Para cada número primo p, seja p# definido pelo produto de todos os números primos q , tais que q é menor ou igual a  p .
Seguindo a sugestão de Dubner, p#   pode ser chamado de primordial de p.
As resposta às seguintes questões são ainda desconhecidas :

  - Existem infinitos números primos p para os quais p# + 1 é um número primo?
  - Existem infinitos números compostos p para os quais p# + 1 é um número composto ?

Recorde :

13649# + 1 é o maior número primo da forma p# + 1;  tem 5862 dígitos e foi descoberto por  Dubner em 1987,
que também identificou  p = 11549, 4787, 4547 e 3229 com a mesma propriedade.
No entanto, trabalhos anteriores de,  Borning (1972), Templer (1980), e Buhler, Crandall e Penk (1982)
estabeleceram que p# + 1 é um número primo para p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657,
e que p# + 1 é um número composto para todos os outros p < 11213, com p pertencente a N.

Base da demonstração de Euler

Esta é uma demonstração indirecta, que em senso comum parece ser pouco natural; mas por outro lado, como indicaremos, conduz-nos a importantes desenvolvimentos.Euler mostrou que devem existir infinitos números primos pelo facto de uma certa expressão formada por todos os números primos ser infinita.Se p é um número primo, então 1/p < 1; consequentemente, a soma da série geométrica é:  S1/p^k = 1/ ( 1-1/p ). Do mesmo modo, se q é outro número primo então, S1/q^k = 1/ ( 1-1/q ). Multiplicando :1 + 1/p + 1/q + 1/p²+ 1/q²+ ... = [1/(1-1/p)].[1/(1-1/q)]. Mais explicitamente, a parte esquerda é a soma dos inversos de todos os números naturais da forma p^h.q^k, ( com h maior ou igual que zero e k maior ou igual que zero), cada um contado uma única vez,  porque cada número natural tem uma única factorização como produto de números primos. Esta simples ideia é a base da demonstração de Euler

Demonstração de Euler :

Suponhamos que p1, p2, …, pn são todos números primos. Para cada  j = 1, …, n,  S1/pj^k = 1/ ( 1-1/pj ). Mutiplicando estas n igualdades obtemos: P(S 1/pj^k = 1/ ( 1-1/pj )) = P1/ ( 1-1/pj )  ( com 1£ j £n ) e a parte esquerda é a soma dos inversos de todos os naturais, cada um contado uma e uma só vez - o que advém do teorema que diz que cada número natural é igual, de um só modo, a produto de números primos.Mas a série, S 1/n é divergente (série harmónica), sendo uma série de termos positivos, a ordem da sua soma é irrelevante, logo a parte esquerda é infinita quando a parte direita é claramente finita. Isto é absurdo.

É uma demonstração, datada de 1980 e,  que segue a via da álgebra comutativa. Os ingredientes são os factos elementares da teoria dos domínios ideais principais, factorização única dos domínios, domínios de Dedekind, e números algébricos, e pode ser encontrada em qualquer livro de texto sobre o assunto.
No entanto vamos recordar o seguinte :

1. Em qualquer corpo numérico (de grau finito), o anel formado pelos seus números algébricos, é um domínio de Dedekind : cada ideal é de um modo único o produto de ideiais primos.
2. Em qualquer corpo numérico (de grau finito), existe apenas um número finito de ideais primos que dividem qualquer número primo p.
3. Um domínio de Dedekind constituído apenas por ideais primos finitos é um domínio ideal principal, e como tal, cada elemento é, até às unidades, o produto de elementos primos de um só modo.

Demonstração de Washington :

Considere-se o corpo de todos os números da forma a+b(-5)^1/2, onde a, b são números racionais. O anel dos números algébricos a este corpo consiste dos números desta forma com a, b números inteiros. É fácil ver que 2, 3,
1 + (-5)^1/2, 1 - (-5)^1/2 são elementos primos deste anel, porque não podem ser decompostos em factores que
sejam inteiros algébricos, a não ser que um dos factores seja "unidade" 1 ou -1.
Note-se também que (1+(-5)^1/2)(1- (-5)^1/2) = 2 x 3, a decomposição de 6 num produto de números primos não é única até às unidades, portanto temos que o anel não é um domínio de factorização único; consequentemente, não é um domínio ideal principal. Logo, deve conter infinitos ideais primos ( pelo facto 3 acima) e (pelo facto 2 acima) por isso, existe um número inifinito de números primos.

A demonstração de Polya usa a seguinte ideia : É suficiente encontrar uma sucessão natural de números
1 < a1 < a2 < a3 < … que sejam  primos relativos dois a dois  ( isto é sem factores primos em comum). Logo, se p1 é um primo que divida a1, se p2, é um primo que divida a2, etc. , então p1, p2, …, são todos diferentes. Nesta demonstração os números an são escolhidos como sendo os números de Fermat, Fⁿ=4ⁿ+1 ( n³ 0). De facto, é fácil de ver por indução em m, que F^m - 2  = F⁰.F¹...F^m-1;   consequentemente ,se n < m, então Fⁿ  divide F^m- 2 . Se um primo p dividisse Fⁿ e F^m, então dividiria  F^m- 2 e F^m , e por isso também 2, logo p = 2. Mas Fⁿ é impar, consequentemente não divisível por 2 . Isto mostra-nos que os números de Fermat são primos relativos dois a dois.

QED

A demonstração de Thue usa apenas do teorema fundamental da factorização única de números naturais como produto de números primos.

Demonstração de Thue:

Sejam n, k maiores ou iguais que 1 números inteiros, tais que (1+n)^k < 2ⁿ. Sejam p1 = 2, p2 = 3,  p3, …,  pr   todos os números primos que satisfazem a condição p£2ⁿ. Suponhamos que r menor ou igual a  k. Pelo teorema fundamental, cada inteiro m,  1£ m £2ⁿ, pode ser escrito de uma única maneira na forma m=2^e1.3^e2...Pr^er   onde 0 £ e1 £ n,  0£ e2 £ n, …., 0£ er £ n.Contando todas as possibilidades, segue-se que 2ⁿ£(n+1).n^r-1 <(n+1)^r< (n+1)^k< 2ⁿ, e tal é absurdo. Portanto
r £k+1. Escolhendo n = 2k².De  1+2k² < 2k² para cada k maior ou igual que 1, segue-se que (1+2k²)^k < 4^{k^2}.
Então, existem pelo menos k + 1 primos p, tais que p é menor do que 4^{k^2}.

Como k pode ser tomado arbitrariamente grande, isto mostra-nos que existem infinitos números primos, e que na actualidade k + 1 é o menor pulo para o número de primos menores que 4^{k^2}.
Este é um resultado quantitativo, que é claro, muito fraco.
 

A demonstração de Fursthenberg, é uma prova engenhosa, baseada em ideias topológicas, que apareceu em 1955:

Vamos demonstrar topologicamente que existe um infinito número de números primos.
Primeiro introduzimos uma topologia num espaço S de números inteiros, usando as progressões aritméticas (de menos infinito a mais infinito) como base. Não difícil verificar que de facto, que esta noção assim dada, suporta um espaço topológico. De facto, dentro desta topologia, podemos mostrar que S é normal, logo metrizável. Cada progressão aritmética é simultaneamente aberta e fechada. Como resultado a união de qualquer número finito de progressões aritméticas é fechada. Considere-se agora um conjunto A que é igual à união de todos os conjuntos Ap, onde Ap consiste de todos os múltiplos de p, e p pertence ao conjunto dos números primos maiores ou iguais a 2. Os únicos números que não pertencem a A são -1 e 1, e como o conjunto {-1,1}, é um conjunto fechado, A não pode ser fechado. Consequentemente, A não é uma união finita de conjuntos fechados o que prova que existe um número infinito de números primos.