Problema: Um passeio na roda gigante

O problema "um passeio na roda gigante" foi um dos por nós resolvidos nas primeiras aulas de ICM e que, devido ao facto de ser, na nossa opinião, um problema interessante e de carácter "utilitário" ( no sentido em que nos premite determinar a altura a que nos encontramo quando andamos numa roda gigante - sempre útil quando vamos à Feira Popular!!) decidimos explorá-lo utilizando o GSP.
Desta forma, depois de apresentarmos a resolução do problema, que faremos de seguida, construiremos no GSP uma simulação do mesmo. Podemos assim ter uma visualização de como varia a altura de uma cadeira na roda gigante em função do tempo que decorre, apresentando a construção do gráfico dessa função à medida em que a cadeira se vai movimentando na roda.
O enunciado do problema, tal como nos foi proposto, é o seguinte:

 

Uma das atracções com muita tradição nas feiras é a roda gigante. Vamos imaginar que uma roda leva 12 cadeiras igualmente espaçadas ao longo do seu perímetro, que o seu raio mede 10 metros e que o ponto mais baixo atingido ao longo do percurso círcular está a 0,5 metros do solo. Sabe-se também que uma roda demora cerca de 30 segundos a efectuar uma rotação completa. Como varia a distância a que se encontra um passageiro do solo, durante o seu passeio?

Resolução

 

Consideremos o triângulo tal como na figura, o que nós queremos calcular é o valor de h. Para isso sabemos que sena=h/10, logo h=10.sena. Portanto já sabemos que o h é 10.sena. Queremos agora saber quanto é o ângulo de a. Mas o ângulo a irá ser uma função do tempo e, como sabemos, a roda demora 30 segundos a efectuar uma volta completa, também sabemos que um ponto na roda em 30 segundos efectua 2p.10 (perímetro da roda).

Portanto o ângulo a é pt/15

Assim : h=10.sen(pt/15), t pertencente ao intrevalo fechado de [0,30].
Mas este h ainda não é a altura que a cadeira (ponto) se encontra do solo, para isso temos de somar 10,5. Em conclusão a altura ou distância a que a cadeira de encontra do solo é uma função do tempo que é :

A simulação deste problema no GSP revelou-se uma tarefa difícil e, ao longo da sua construção, deparámos com alguns problemas dos quais alguns deles conseguimos resolver e outros infelizmente permanceram. Assim, devido ao problema da escala, a distância ao solo não está proporcional ao raio da roda, tal como está no enunciado do problema. Além disso tivémos grandes dificuldade em estender o gráfico da função (altura) para quando a roda gira ao longo de si própria, felizmente conseguimos superar esta dificuldade e estender o gráfico da função até 3 rotações completas da roda, o que já possibilita uma boa visualização do gráfico da função.

O modo como o fizémos tem pouco ou nada a ver com a resolução inicial do problema, é um pouco complexa consistindo em animar um ponto sobre a roda e simultaneamente na horizontal, mas permitiu-nos aplicar todos os conhecimentos sobre GSP que aprendemos nas aulas de ICM.
No que diz respeito à utilização da simulação, tem-se em conta que o segmento AC que aparece no monitor, é o raio da roda, sendo variável conforme se queira uma roda com mais ou menos raio, ou mais ou menos distância ao solo. Para visualizar o modo como a altura varia em função da posição da cadeira na roda teremos que clicar duas vezes em MOVE E->G e seguidamente fazer o mesmo em MOVE J->H, isto faz com que o percusro se inicie na origem. Depois devemos clicar duas vezes em ANIMATE, fazendo animar o ponto ao longo da circunferência e simultaneamente esboçar o gráfico da altura que esse ponto assumo relativamente ao solo , i.é, a nossa função f(t), da resolução. Portanto, o gráfico que resulta desta animação é uma sinusóide de período 30, que indica a altura da cadeira em relação ao solo, em função do tempo decorrido desde o momento da partida, isto é, quando a cadeira se encontra à mesma distância do solo.

Faça um dowload da nossa  rodagiga.zip
Para fazer um download do GSP vá à página http://www.keypress.com/