Tipos especiais de números primos

Fermat acreditava e tentou demonstrar que todos os números desta forma originavam números primos. Como F⁵ tem 10 digitos, em ordem de se testar a sua primalidade seria necessário possuir uma tabela de números primos até 100000, ou então usar um critério qualquer, que provasse que a existência de factorização, de um número de Fermat, o que não estava ao alcançe de Fermat.

Euler demonstrou que todos os factores de Fⁿ , com n³2, são da forma k x 2ⁿ⁺²+1 e através do qual descobriu que 641 divide F⁵ : F⁵ = 641 x 6 700 417.

Como os números de Fermat crescem muito rapidamente em função de n, torna-se muito laborioso testar a sua primalidade. No entanto Pepin obteve em 1877 um algoritmo para testa a primalidade de números de Fermat.

Lucas usou este algoritmo para demonstrar que F⁶ era composto, e em 1880 Landry mostrou que:
F⁶ = 274 177 x 67 280 421 310 721

A factorização de F⁷ foi pela primeira vez conseguida por Morrisson & Brillhart em 1970 e publicada posteriormente em 1971, a de F⁸ por Brent & Pollard em 1981.

Para os números de Fermat Fⁿ, com n³9, não existe uma factorização completa . Em muitos casos um factor k x 2ⁿ⁺²+1 foi no entanto determinado. Selfridge provou em 1953 que 3150 x 2¹⁸+1 divide F¹⁶ . Selfridge & Hurwitz, concluiram em 1963 que  F¹⁴ é composto através do algoritmo de Pepin, sem no entanto determinarem nenhum dos seus factores.

Recorde:

O maior número de Fermat primo conhecido é F⁴= 65 537.
O maior número de Fermat composto é F^{23 471} e tem como factor 5 x 2^{23 473}+1 e mais de 10^{7 000} digitos.
Os mais pequenos números de Fermat para os quais não se reconhece serem números primos ou números compostos são  F²², F²⁴, F²⁸.

Problemas ainda por resolver:

Existirão infinitos números de Fermat primos?
Existirão infinitos números de Fermat compostos?
São todos os números de Fermat livres de qualquer factor quadrático?
 

Os números da forma Mⁿ = 2ⁿ-1 com n um número primo são chamados de números de Mersenne, a sua consideração deriva do estudo de números perfeitos (um número perfeito, é um número cujo resultado da soma dos seus divisores naturais é ele mesmo; por exemplo o número 6 tem como divisores 1,  2,  3 e 1+2+3=6, 28 tem como divisores 1, 2, 4, 7, 14 e 1+2+4+7+14=28) efectuado por Marin Mersenne.

Desde a altura de Mersenne que são tanto conhecidos números de Mersenne primos, como compostos. Por exemplo M² =3, M³ =7, M⁵ =31, M⁷ = 127, são números primos enquanto M¹¹ = 23 x 89. Em 1640, Mersenne constactou que os números Mⁿ são também primos para n =13, 17, 19, 31, 67, 127, 257; no entanto ele estava errado quanto a 67 e a 257 e não incluíu 61, 89, 107 entre os primos inferiores a 257, que também produzem números de Mersenne primos. No entanto esta afirmação é espantosa quando se pensa na quantidade de números de Mersenne que são números primos.

O problema óbvio é reconhecer de entre os números de Mersenne os que são primos e de entre os que sejam compostos os respectivos factores [algoritmo para determinar números de Mersenne primos].

Foi estabelecido por Euler em 1750, e demonstrado mais tarde em 1775,por Lagrange, um resultado tornado clássico, sobre os factores dos números de Mersenne: Se q é um número primo tal que q = 3 (mód. 4) então 2.q + 1 divide M^q se e só se 2.q + 1 é um número primo; neste caso se q>3 então M^q  é um número composto.

Temos então que para q= 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, M^q  tem como factores respectivamente 23, 47, 167, 263, 359, 383, 479, 503.

Um problema ainda por resolver:

Existirá apenas um conjunto finito de números de Sierpinski que sejam números primos?

Se p é um número primo de Sophie Germain, então não existem números inteiros x,y,z diferentes de zero e não múltiplos de p tais que x^p + y^p  = z^p

Por outras palavras para os números primos de Sophie Germain o primeiro caso do último Teorema de Fermat é verdadeiro.

Um problema ainda por resolver :

Existirão infinitos números primos de Sophie Germain?

Um número primo p que satisfaça a congruência 2^p-1 º 1 (mód. p²) toma o nome de Número primo de Wieferich. De facto foi Wieferich que provou em 1909 o difícil teorema : Se o primeiro caso do último teorema de Fermat é falso para o expoente p, então p satisfaz a congruência indicada. Deve-se notar que contrariamente à congruência 2^p-1 º 1 (mód. p) que é satisfeita por qualquer número primo ímpar, a congruência de Wieferich é raramente satisfeita. Antes a era do computador electrónico Meissner descobriu em 1913 e Beeger em 1922, que os números primos p = 1093 e 3511 satisfazem a congruência de Wieferich.

Recorde: Lehmer demonstrou em 1981 que, com as excepções de 1093 e 3511, não existem números primos p < 6 x 10⁹ satisfazendo a congruência de Wieferich

Problemas ainda por resolver:

1. Dado a³2,  existirão infinitos números primos p tais que q^p-1 º 1 (mód. p²)?
2. Dado a³2, existirão inifinitos números primos p tais que q^p-1 ¹ 1 (mód. p²)?

Por exemplo, p = 5, 13 são números primos de Wilson.

Problema ainda por resolver:

Existirão infinitos números primos de Wilson?

Recorde: Para além de 5, 13 foi descoberto por Goldberg em 1953 que 563 também é um número primo de Wilson.

Quando números da forma n!+/-1 são chamados de números primos factoriais.

Se p e p + 2 são números primos então estes são chamados de números primos gémeos . Os mais pequenos pares de números primos gémeos são (3,5), (5,7), (11,13) e (17,19).

Estes números foram caracterizados por Clement em 1949 do seguinte modo: Seja n maior ou igual a 2, os inteiros n, n + 2, formam um par de números primos gémeos se e só se: 4.[(n-1)! + 1] +n º 0 [mód. n.(n+2)].

Quando números da forma n#+/-1 originam números primos são chamados de primos primordiais.