Nesta páginas propusemo-nos a mostrar um pouco mais da combinatória e das probabilidades. Desde demonstrações de propriedades já enunciadas a novos teoremas passando por muitas curiosidades.

Demonstração da Propriedade I

Temos

e

portanto,

Demonstração da Propriedade II

Sabendo que,

Temos que,

Assim,

Propriedade I - p( A^C ) = 1 - p( A )

Demonstração:

Por um dos axiomas sabemos que p ( W ) = 1.

Como os acontecimentos A e A^C são complementares temos que A È A^C = W

Desta forma, p ( A È A^C ) = p ( W ) = 1

Por outro lado, como A e A^C são disjuntos ( são complementares ) podemos usar o axioma que nos diz que p ( A È B ) = p ( A ) + p ( B ) se A e B disjuntos e concluir que p ( A È A^C ) = p ( A ) + p ( A^C ).

Temos então que 1 = p ( W ) = P ( A È A^C ) = p ( A ) + p ( A^C ) de onde:

P ( A ) = 1 - p ( A^C )

Propriedade II - Se AÍ B então p ( A ) £ p ( B ) e p ( B - A ) = p ( B ) - p ( A )

Demonstração:

Como A e B-A são conjuntos disjuntos temos que:

p ( A È ( B - A ) ) = p ( A ) + p ( B - A ) , mas A È ( B-A ) = B de onde

p ( B ) = p ( A ) + p ( B - A ) , ou seja , p ( B - A ) = p ( B ) - p ( A )

Por outro lado como p ( B - A ) ³ 0, pois é uma probabilidade, temos que:

p ( B ) - p ( A ) ³ 0 de onde sai que p ( A ) £ p ( B )

Propriedade III - p ( A È B ) = p ( A ) + p ( B ) - p ( A Ç B )

Demonstração:

Sabemos que A e B - ( A Ç B ) são dois conjuntos disjuntos.

Por um axioma sabemos que nessas condições temos:

p ( A È ( B - ( A Ç B ))) = p ( A ) + p ( B - ( A Ç B ))

Como A Ç B Í B, pela propriedade II, p ( B - ( A Ç B )) = p ( B ) - p ( A Ç B )

Por outro lado A È ( B - ( A Ç B )) = A È B

Assim p ( A È B ) = p ( A ) + p ( B ) - p ( A Ç B )

Outros teoremas

Nesta secção pretendemos falar de dois teoremas que estão na base de todo o estudo das probabilidades: o Teorema das Probabilidades Totais e o Teorema de Bayes. Para tal vamos começar por definir probabilidade condicional

Definição de Probabilidade Condicional

Dado um espaço amostral W , se A e B forem dois acontecimentos em W , com p(B)¹ 0, definimos probabilidade condicional de A dado B ou probabilidade de A se B como sendo:

Definição de Acontecimentos Independentes

Dois acontecimentos A e B dizem-se independentes sse p ( A|B ) = p (A) e se p(A)¹ 0,

p (AÇ B) = p (A|B) . p ( B) = p (B|A) . p( A)

Depois de apresentar estas definições estamos em condições de enunciar o Teorema das Probabilidades Totais e o Teorema de Bayes.

Teorema das Probabilidades Totais

Seja

uma partição do espaço amostral, isto é, Ai Ç Aj = Æ se i ¹ j e

=W .

Se B for um acontecimento qualquer em W temos que:

  Demonstração

Podemos verificar que B pode ser escrito como a união disjunta das intersecções de B com cada um dos A_i. Assim,

O Teorema de Bayes resulta como consequência imediata do Teorema das Probabilidades Totais.

Teorema de Bayes

Nas mesmas condições do teorema anterior tem-se também:

para todo o i = 1,2, ...,n desde que p(B) ¹ 0.

Demonstração

Reparemos que, de p (A_i|B) p(B) = p(B|A_i) p(A_i) podemos concluir que

e aplicando o Teorema das Probabilidades Totais a p(B) fica concluida a demonstração.

Sobre as distribuições

Para falarmos de funções de Distribuição convém começarmos por introduzir o conceito de variável aleatória.

Definição de Variável Aleatória

Dado um espaço amostral chamamos variável aleatória em a uma função de domínio que toma valores em  .

Podemos distinguir dois tipos de variáveis aleatórias: variáveis aleatórias discretas e variáveis aleatórias contínuas conforme o espaço amostral é finito ( ou numerável ) ou infinito não numerável respectivamente.

Variáveis Aleatórias Discretas

Já ficou definido que variáveis aleatórias discretas são aquelas que apresentam um domínio, , finito ou numerável.

Interessa-nos saber para cada um dos pontos do domínio a probabilidade que lhe está associada. Esse valor é dado pela Função Massa de Probabilidade que se representa como pn = p ( xn ) com xn a representar o n-ésimo ponto do domínio.

À função

dá-se o nome de Função distribuição da variável aleatória X, ou abreviadamente Função Distribuição de X.

Temos então que

Distribuição Uniforme em N pontos

Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição uniforme em N pontos, XÇ U_N, se a sua função massa de probabilidade é pn = 1/N se n = 1,2,...,N e pn = 0 se n > N.

Assim, a sua função de distribuição será dada por:

O gráfico da sua função distribuição é o seguinte:

Distribuição Binomial

Suponhamos que vamos efectuar n provas de uma experiência na qual pode ocorrer um determinado acontecimento A ou o seu complementar, e cuja a probabilidade de acontecer A, ao qual chamamos sucesso, é p. Consideramos, então, a variável aleatória X com distribuição binomial, X bi ( n, p ), ou seja, X tem distribuição binomial com parâmetros n - número de provas e p - probabilidade de sucesso em cada prova.

A sua função massa de probabilidade:

A função de distribuição é facilmente obtida se considerarmos:

Distribuição Geométrica

Se considerarmos um exemplo semelhante ao anterior em que vamos fazer provas sucessivas de uma experiência na qual pode ocorrer A ou o seu complementar, mas destas vez contarmos o número de vezes que repetimos a experiência até acontecer pela primeira vez A, temos uma variável aleatória X com uma distribuição geométrica, XÇ G(p), em que p representa a probabilidade de sucesso, ou seja, a probabilidade de acontecer A.

A sua função massa de probabilidade será: e facilmente se pode encontrar a sua função distribuição através do somatório de cada um dos valores da mass de probabilidade em cada um dos pontos menores que x.

Distribuição Poisson

Quando estamos perante uma variável aleatória que conta o número de vezes que se dá um acontecimento com pequena probabilidade, mas que pode acontecer um número grande de vezes a distribuição de probabilidade dessa variável aleatória é em geral bem aproximada por uma distribuiçaõ de Poisson.

Uma variável aleatória discreta X tem distribuição Poisson de parâmetro a , XÇ P(a ), se a sua

função massa de probabilidade for

Variáveis aleatórias contínuas

Variáveis aleatórias contínuas são aquelas que apresentam um domínio contínuo. Aqui interessa-nos saber qual é a probabilidade associada a um determinado intervalo do domínio.

Consideremos então a função distribuição

em que f(x) é a função densidade de probabilidade. A função densidade de probabilidade é uma função f: tal que:

i) Para todo o u, f(u) é sempre positiva.

ii)

NOTA: Qualquer função não negativa integrável define uma densidade de probabilidade, pois se e f (x) é sempre positiva,   então f (x) / M satisfaz i) e ii).

Distribuição Uniforme no intervalo [ a , b ]

Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [ a , b] se tiver função densidade de probabilidade

desta forma a sua função distribuição será

Função Densidade Probabilidade de uma Uniforme no intervalo [ 1 , 2 ]

 Distribuição exponencial

Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição exponencial de parâmetro l se a sua função densidade de probabilidade fôr dada por:

Assim, a sua função distribuição será:   F_X(x) = 1 - e ^{- l x}

Função Densidade de Probabilidade de uma exponencial de parâmetro l = 1

Distribuição normal

Uma variável aleatória X tem distribuição normal, ou Gaussiana, XÇ N(m , s )em que m é o valor médio da população e s o seu desvio padrão, se a sua função densidade de probabilidade for dada por:

Â

Neste caso a função distribuição será:

Mas a função integranda não tem primitiva conhecida, por tal para calcular os valores da função distribuição existem tabelas. Resta notar que o cálculo está facilitado pela simetria da função integranda.

Curiosidades

Quer ter um olhar despreocupado sobre as probabilidades e a Combinatória? Talvez olhar para umas "tirinhas" de banda desenhada ? Ou ler histórias engraçadas sobre a Lei de Murphy?

Siga as nossas sugestões:

http://www.matematica.com.br/curi3.html, para  ver umas "tirinhas sobre probabilidades".

A sugestão seguinte fala sobre curiosidades sobre a lei de Murphy e outras, http://www.geocities.com/Broadway/stage/8009/MURPHY.HTM, quando tudo corre mal...

Se tem curiosidade em conhecer uma entrevista a Robert Matheus sobre a lei de Murphy e as probabilidades, então não deixe de visitar, http://www.vestnacional.com.br/vj040697.htm

http://209.41.09 é a página sobre o ARTEACASO. Quer saber o que é? Visite-a e veja como o acaso, a arte e tudo o resto andam de mãos dadas.