Reservámos este espaço para vos mostrar o que temos feito ao longo do semestre nesta cadeira.

    Em primeiro lugar seleccionámos um problema abordado numa das primeiras aulas. A nossa escolha foi motivada pelas várias resoluções possíveis e pela discussão subjacente ao mesmo que nos levou a pensar acerca do que é um prolema que esteja próximo da realidade.

    Deste modo, vamos apresentar as duas questões colocadas na aula e motivaram tal debate.

   Um passeio na roda gigante

    Uma das atracções com tradição nas feiras é a roda gigante. Vamos imaginar que a roda leva 12 cadeiras igualmente espaçadas ao longo do seu perímetro, que o seu raio mede 10 metros e que o ponto mais baixo atingido ao longo do percurso circular está a 0,5 metros do solo. Sabe-se também que uma roda demora cerca de 30 segundos a efectuar uma rotação completa.

    Como varia a distância a que se encontra um passageiro do solo, durante o seu passeio.

Adaptado de " Modelação Matemática " - J.F.Matos ( 1995 )   

    A outra questão dizia respeito à mesma roda, mas neste caso numeraram-se a cadeiras, como na figura. Depois de toda a gente estar sentada o Manuel ficou sentado na cadeira 1. No instante em que a roda começa a rodar a cadeira 1 está representada como na figura.

   Admita que a distância em metros da cadeira 1 ao solo t segundos após a roda ter começado a girar é dada por :                                                                d(t) = 7 + 5sen (p t / 30 )

   a) Determine a distância da cadeira 1 ao solo no instante em que a roda começa a girar.

   b) Esboce o gráfico da função para t Î [ 0 , 75 ] . Assinale as coordenadas dos pontos correspondentes aos extremos da função. Indique quanto tempo demora o Manuel a dar uma volta completa.

   c) Resolva a equação d(t) = 9,5 para t Î [ 0 , 75 ] .

   d) Qual é o comprimento do raio da roda.

    Em relação ao primeiro problema, pensámos que a primeira coisa a fazer é encontrar uma função que modelasse este problema. Para isso tivemos em consideração os seguintes tópicos :

• Trata-se de um problema em que queremos uma resposta do espaço em função do tempo. Portanto a função desejada será f(t) em que t é o tempo medido em segundos.
• Por outro lado intuímos que se tratava de uma função trigonométrica, dado o tipo de problema.
• Este último tópico levantou-nos uma questão, havia que ' converter ' o ângulo da função trigonométrica num parâmetro t que correspondia ao tempo.

    Estabelecemos os seguintes cálculos :

    Encontrámos o ângulo formado com o eixo horizontal ( cuja origem se situava no centro da roda ) pelo segmento imaginário que unia uma das cadeiras ao centro em vários instantes:

    Depois, procurámos o argumento para a função :

        Para t = 30 / 12  o ângulo era de p/6 e em t = 15 o ângulo era p, assim para cada instante o ângulo que pretendíamos era  y = 12p/(6 x 30) =  p t / 15.

        Deste modo a função seria g (t) = sen ( p t / 15 ), se o raio fosse unitário, como o raio é de 10 metros teríamos :

h(t) = 10 sen (p t / 15 )

        Porém isto seria se a cadeira em questão se encontrasse no solo no instante inicial, o que não se passa, para t = 0 essa distância é de 10,5 metros. Logo, a função pretendida é :

    Ainda na mesma aula explorámos este exercício no programa Excel, utilizando-o para calcular os valores da função em instantes sucessivos de 0 s a 30 s, bem como para elaborar o gráfico da mesma, onde nos deparámos com algumas limitações deste programa.

     Relativamente à resolução do outro enunciado, esta passa apenas pelos cálculos mecanizados próprios do estudo de funções que é leccionado. Desta forma escusamo-nos de a elaborar pois acreditamos que está ao alcance de qualquer visitante.

     Apresentamos um outro exemplo de exercício/problema que procurámos posteriormente para incluir nesta página.

     Suponham que a roda gigante da Feira Popular tem 7,5 metros de raio e que está fixa ao chão a partir do centro por um suporte de forma triângular .

     Suponham ainda que a distância do centro da roda ao solo é de 9,5 metros e que o tempo necessário para que a roda dê uma volta completa é de 24 segundos.

     Tendo em conta estes dados, respondam às seguintes questões :

   1. A que altura ( em relação ao solo ) se encontra uma pessoa ao fim do seguinte tempo, se estiver sentada na cadeira 1 ( ver figura ) :

   a ) 6 segundos        b) 9 segundos          c) 12 segundos          d) 33 segundos          e) 45 segundos

   2. Quanto tempo demora uma cadeira a atingir 13,25 metros de altura ?

   3. Supondo que um bilhete dá para ' gozar ' 5 voltas na roda, quantas vezes é que uma pessoa atinge a altura de 13,25 metros?

   4. Durante quanto tempo uma pessoa está a uma altura superior a 13,25 metros ?

Adaptado de Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar  APM / IIE ( 1991 )

     1. a) 9,5 + 7,5 = 17 metros    b) 9,5 +(Ö2 /2 ) x 7,5 metros   c) 9,5 metros

         d) o mesmo que aos 9 segundos    e) 9,5 - (Ö2 /2 ) x 7,5 metros 

     2. Ao fim de 25 segundos

     3. Dez vezes

     4. 10 segundos em cada volta.

Numa outra aula foi-nos apresentado o seguinte exercício, ainda que não no âmbito em que o vamos resolver em seguida.

Originalmente resolvemos esse problema com material auxiliar : Um cubo com um orifício e uma garrafa de líquido azul. Não utilizamos qualquer programa de computador.

Contudo, escolhemos este exercício para aplicarmos os conhecimentos adquiridos sobre o programa Gsp, The Geometer’s Sketch Pad. Apresentando algumas, ainda que poucas, das suas potencialidades.

Enchendo um cubo...

Imagine um cubo de vidro assente sobre uma das suas arestas de modo a que a diagonal facial fique na vertical.

Suponha que o vamos enchendo de um líquido colorido até ficar cheio.

1. De que maneira varia o perímetro do líquido em função da altura do líquido dentro do cubo?

2. De que maneira varia a área da superfície do líquido em função da altura do líquido dentro do cubo?

3.De que maneira varia o volume do líquido em função da altura do líquido dentro do cubo?

Para visualizar melhor o problema, anime cada uma das figuras. Para isso, clique em animate e para parar clique em animate outra vez. Se quiser animar uma segunda vez faça um reload da página ou coloque os pontos na posição inicial, isto é, o cor-de-rosa sobre o branco e o vermelho sobre o amarelo.

Cubo - Perimetro

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Cubo - Area

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Cubo - Volume

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Em cada momento é importante arranjar um a função quer para o perímetro (fig. 1), quer para a área (fig. 2), quer para o volume (fig. 3 ) tendo em atenção as medidas e a forma como evolui o que pretendemos medir.

O modo como resolvemos o exercício é deixado como sugestão.

• Considerar primeiro uma função para o perímetro, outra para a área e uma terceira para o volume, quando o líquido vai apenas até metade da altura do cubo.
• Completar cada uma destas funções com outro ramo de modo a sar as diversas medidas para qualquer altura de líquido no cubo.

Observação : A função que é a junção dos dois ramos vai ser contínua.

Solução :

1.

2.

3.

.