Quando trabalhamos com muitos elementos e torna-se difícil o recurso a diagramas ou tabelas para se efectuar a contagem, recorre-se à Análise Combinatória.
Assim, a partir de um número finito de elementos, formam-se sequências e a Análise Combinatória consiste num conjunto de processos alternativos e simplificados de contagem.
Para se proceder à contagem destas sequências é preciso ter em atenção a ordem (que pode, ou não, existir) e, se os elementos se repetem ou não. Mas, em todos os processos se aplica o seguinte principio:
Principio Fundamental de Contagem
Se um determinado acontecimento pode ocorrer n1 vezes, e após ter ocorrido, um segundo acontecimento pode ocorrer n2 vezes, e de seguida um terceiro acontecimento n3 vezes e assim sucessivamente então, o numero de maneiras diferentes em que os acontecimentos podem ocorrer na ordem indicada é: n1´n2´n3´ ...
Exemplo: A Joana tem 3 calças, 4 camisolas e 5 casacos. De quantas maneiras diferentes pode escolher um par de calças, uma camisola e um casaco?
R: A Joana pode escolhê-las de 3´4´5=60 maneiras diferentes.
Para perceber um pouco melhor a importância da Análise Combinatória associando-a ao Pricípio Fundamental de Contagem consulte http://www.coc.com.br/pedagogico/home/Web2030a.htm ou http://www.coc.com.br/pedagogico/inter97/analise1.htm
Nota: Para simplificar a notação designa-se factorial de um número n natural, a n! que representa o seguinte produto: n!= n.(n-1).(n-2)...1
Por convenção, 0!=1
Exemplo: 6!=6´5´4´3´2´1=720
Para obter mais informação sobre o que é um factorial consulte http://www.seanet.com/~ksbrown/kmath165.htm
Alguns Princípios Básicos de Combinatória
Permutações As permutações de n elementos consiste no numero de sequências distintas que é possível obter com n elementos e representa-se por Pn=n! (isto dá-nos o numero de maneiras de colocar n objectos numa série ordenada).
Para calcular o numero de permutações tem que se ter em atenção a ordem dos elementos.
Exemplo: A D. Luísa tem uma loja de brinquedos e pretende colocar numa prateleira, 10 bonecas. De quantas maneiras distintas as pode colocar, em fila, na prateleira?
R: Temos 10 bonecas.
Para o primeiro lugar temos 10 possibilidades.
Para o segundo lugar temos 9 possibilidades, porque já colocamos uma boneca no primeiro lugar.
Para o terceiro lugar temos 8 possibilidades (...)
Assim, temos P10=10!=3628800 possibilidades para dispor as bonecas na prateleira.
Os arranjos sem repetição de n elementos p a p consiste no numero de sequências de P elementos escolhidos que é possível obter entre n dados. É importante a ordem pelo qual os elementos são escolhidos. O n destas sequências dizem-se arranjos de n, p a p, e representam-se por nAp= n(n-1).(n-2)....(n-p+1).
Exemplo: Num concurso de beleza vão participar 12 pessoas. De quantas maneiras diferentes se podem repartir estas pessoas pelos primeiros três lugares, sabendo que não admitem repetições.
R: Pretende-se calcular o numero de arranjos de 12, 3 a 3. Assim, temos 12 possibilidades para o primeiro lugar.
Temos 11 possibilidades para o 2º Lugar e 10 possibilidades para o 3ª lugar.
Portanto, há 12A3= 12´11´10 = 1320 formas diferentes de distribuirmos os 3 primeiros lugares.
| Atendendo a que, n!=n.(n-1).(n-2)....(n-p+1).(n-p).....3.2.1, temos que, |
| nAp= | |
, com n¹p |
| Quando n=p, temos nAp= nAn= |  |
, portanto nAn= Pn. |
As combinações sem repetição dão-nos o numero de subconjunto com p
elementos, que se podem formar de um conjunto de n elementos. Representa-se por nCp,
ou 
e, para esta contagem não
interessa a ordem.
| Temos que, nCp= |  |
Exemplo: O João tem 15 chocolates e quer escolher 5 para comer. Quantos grupos diferentes pode formar?
R: Como não interessa a ordem, queremos contar o numero de vezes que podemos escolher 5
| elementos, de entre 15, isto é, 15C5= |  |
=30030. |
| Nota: nCp= |  |
nAp. |  |
, com n¹p. |
Designa-se por Triângulo de Pascal, ao esquema que se apresenta a seguir
Se quiser saber mais sobre o triângulo de Pascal pode visitar: http://forum.swarthmore.edu/workshops/usi/pascal/patterns_pascal.html
Este triângulo tem diversas características e propriedades interessantes que estão relacionados com as combinações:
Se quiser ver as demonstrações destas propriedades visite "para ir mais além"
Arranjos com repetição dos elementos p a p são todas as sequências de p elementos pertencentes a um conjunto dado, que se podem formar, quer eles sejam distintos ou não. As sequências vão diferir pelos elementos que as compõem e pela ordem de colocação. Representa-se por nAp= np
Exemplo: Com o (traço, ponto) do sistema Morse, quantos sinais diferentes é possível enviar usando 5 impulsos?
R: Para cada impulso, temos duas possibilidades logo temos 6A2=2´2´2´2´2=32 sinais diferentes que podemos enviar.
CONSELHOS:
Para aplicar a estratégia mais adequada na resolução de um problema de Análise Combinatória, ajuda seguir o seguinte método:
1º Escrever o conjunto dos elementos que nos permitem construir as sequências.
2º Escrever algumas sequências das que pretendemos contar.
3º Alterar a ordem de uma determinada sequência e de acordo com o conteúdo do problema, verificar se a nova sequência é igual, ou diferente, da que se tinha anteriormente:
4º Descobrir se os elementos se repetem, ou não.
Para obter mais informação sobre Combinatória consulte http://www.gd.com.br/pgmarques/me-mat.htm
