Quando falamos de Probabilidades existem algumas definições que é necessário ter presente. Sobre essas definições desenvolve-se toda a teoria das Probabilidades . Além destas, todos os conhecimentos na área da Combinatória, podem ser aplicados no estudo das Probabilidades.
Vamos, então, começar por estabelecer quando é que devemos usar as Probabilidades. No sentido corrente do termo, dizemos : "É provável que amanhã vá ao cinema" ou "Tenho pouca probabilidade de ganhar o totoloto ".
Em ambos os casos estamos a fazer previsões futuras sobre acontecimentos que, na realidade, não podemos prever. O que sabemos são, apenas, todas as hipóteses possíveis para esses acontecimentos, isto é sabemos que podemos ou não ir ao cinema, que podemos acertar em todos os números da chave do totoloto, em nenhum ou em alguns, mas não temos nenhuma garantia sobre o que vai acontecer.
Estas situações ( experiências ) dizemos que são aleatórias.
Experiência Aleatória :
Dizemos que uma experiência é aleatória se verificar três propriedades :
Exemplo: O lançamento de um dado é uma experiência aleatória, bem como o lançamento de uma moeda ao ar.
Outro conceito que devemos definir previamente é o de Espaço Amostral.
Espaço Amostral :
É o conjunto de todos os resultados elementares, mutuamente exclusivos e colectivamente exaustivos
Exemplo : O espaço amostral do lançamento de um dado será o conjunto formado por todas as faces, em que cada uma das faces é um resultado elementar.
Outro exemplo é o do lançamento simultâneo de duas moedas. Os resultados possíveis serão : sair duas caras, duas coroas ou uma cara e uma coroa.
Assim o conjunto { 2 caras; 2 coroas; 1 cara e 1 coroa } formado por 3 elementos é o espaço amostral da experiência aleatória.
A qualquer subconjunto do Espaço Amostral damos o nome de acontecimento.
Para estender a definição de acontecimento pode procurar em http://surfstat.newcastle.edu.au/surfstat/main/glossary/glossary.html seleccionando E e em seguida Event ou então em http://www.stats.gla.ac.uk/steps/glossary/probability.html#event
Agora que já estão definidas as bases para o estudo de probabilidade podemos dar uma definição de probabilidade exacta.
Definição frequencista de Probabilidade :
A Probabilidade de um acontecimento, associado a certa experiência aleatória, é a frequência relativa esperada desse acontecimento, ou seja : O quociente entre o número de vezes que o acontecimento se realiza ao fim de n repetições da experiência e o número ( n ) de repetições.
Exemplo : Esta definição de probabilidade é muitas vezes usada em experiências de interesse científico em que as probabilidades são calculadas à posteriori a partir das frequências relativa, do acontecimento em estudo, num número de provas considerável.
Uma outra definição de Probabilidade é dada pela Lei de Laplace, mas antes de a apresentarmos devemos estabelecer em que condições é que a podemos aplicar.
Nas situações em que os vários resultados elementares possíveis são equiprováveis (têm todos a mesma probabilidade) podemos calcular a probabilidade de um acontecimento desse espaço amostral através da Lei de Laplace.
Lei de Laplace :
A probabilidade de um acontecimento associado a uma certa experiência aleatória é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis.
Podemos representar isso da seguinte forma :
Seja A um acontecimento associado a uma certa experiência aleatória, cujo espaço amostral é W , tendo-se A Í W . Seja p(A) a sua probabilidade, então :
Exemplo : A probabilidade de sair face cara quando se lança uma moedas ao ar será 1/ 2 já que o espaço amostral é W = { cara ; coroa } e os resultados elementares são equiprováveis. Assim, temos número de casos favoráveis : 1- sair cara e número de casos possíveis : 2 - cardinalidade de W
Nos problemas que requerem para a sua resolução o uso desta regra é muito útil o uso da Combinatória, para calcular o número de casos possíveis e favoráveis, sempre que não é prático escrever em extensão o espaço amostral.
Para encontrar alguns problemas e exercícios relacionados com esta lei pode consultar: http://www.ualm.es/~asalmero/relaciones/icp/node3.html
A equivalência destas duas definições passa por uma lei que ilustra de que modo é que a probabilidade de um determinado acontecimento vai variando à medida que o número de repetições da experiância (n) cresce para infinito.
Lei dos Grandes Números :
Quando o número de provas aumenta muito, tendendo para infinito, a frequência realtiva de cada acontecimento, associado à experiência aleatória tende a estabelizar na vizinhança de um certo valor, ou seja, converge para um limite que é a probabilidade desse acontecimento.
Interessa-nos agora definir as propriedades do conceito de Probabilidade, ou seja, a sua axiomática.
Considere-se uma experiência aleatória e seja W o espaço amostral dessa experiência. Seja p(A) a probabilidade do acontecimento A. Estabelecem-se três axiomas :
p(A È B) = p(A) + p(B)
Destes axiomas podem ainda concluir-se outras propriedades :
p(A) <= p(B) e p( B-A) = p(B) - p(A)
p(AUB) = p(A) + p(B) - p(A Ç B)
Observação : No caso de serem acontecimentos disjuntos temos o axioma 2.
Se quiser ver as demonstrações visite a nossa página "Para ir mais além "
Nos casos em que os acontecimentos não são equiprováveis, não podemos usar a Lei de Laplace e recorremos ao estudo das frequências. No entanto, este método não é muito eficiente, pois só nos permite calcular probabilidades à posterióri, depois de observar os resultados de n experiências repetidas. ( Em que n seja um número suficientemente grande )
Tendo em atenção a lei dos grandes números já apresentada, podemos ver que se fizermos convergir as distribuições das frequências relativas, estas tendem para a função Distribuição de Probabilidade.
Pode procurar informação adicional em http://www.stats.gla.ac.uk/steps/glossary/probability_distributions.html#prob.distn
Ou então aceder à nossa página Para ir mais além
Das funções distribuição de probabilidade podemos salientar duas: Distribuição Normal e Distribuição Binomial.
A distribuição normal modela muitos acontecimentos da natureza, como sendo caracteristicas morfológicas e sociológicas de uma determinada população.
O seu gráfico, também conhecido como curva de Gauss, é o seguinte:
Vamos estudar com mais pormenor a Distribuição Binomial e começaremos por apresentar um exemplo.
Consideremos um dado equilibrado em que a probabilidade de sair cada uma das suas faces é, claro, 1/ 6 .
Consideremos o acontecimento A - sair face 3. |
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Temos p(A) = 1 / 6 . Se considerarmos AC o acontecimento complementar de A então já sabemos que a sua probabilidade será :
p(AC ) = 1 - p(A)
Assim, p(AC ) = 1 - 1/6 = 5/6
Vamos considerar também que se lança o dado um número, n, de vezes, por exemplo dez vezes. Interessa-nos saber qual é a probabilidade de nestas dez vezes a face 3 sair exactamente 4 vezes.
Queremos, então, saber qual é a probabilidade de o acontecimento A se realizar três vezes nas dez repetições. Isto quer dizer que nas restantes sete vezes se realiza o acontecimento AC .
Suponhamos, por exemplo, que A se verifica nos primeiros quatro lançamentos, a probabilidade de isto acontecer será :
A probabilidade de sair face 3 nos quatro primeiros lançamentos é a
mesma de sair face 3 em quaisquer quatro lançamentos e sabemos da Combinatória que
isso pode acontecer de 
maneiras diferentes.
Juntando toda esta informação teremps que a probabilidade de o acontecimento A se dar exactamente quatro vezes em dez lançamentos do dado é :
Generalizando, se fizermos n repetições de uma dada experiência e considerarmos um determinado acontecimento cuja prbabilidade de se realizar seja p teremos:
Exemplo :
Numa fábrica de televisores 20% dos aparelhos produzidos são defeituosos. Escolhem-se quatro televisores ao acaso de entre aqueles que a fábrica produziu naquele dia. Qual é a probabilidade de que:
a) Exactamente três sejam defeituosos.
b) No máximo dois sejam defeituosos.
a) Uma vez que 20% dos aparelhos são defeituosos a probabilidade de se encontrar um aparelho defeituoso é p = 0,2 , assim 1- p = 1 - 0,2 = 0,8 .
Por outro lado o facto de se escolherem aleatoriamente quatro televisores quer dizer que são quatro repetições da experiência, ou seja, n = 4.
Nesta alínea interessa-nos a probabilidade de serem três os aparelhos defeituosos, isto representa k = 3.
Desta forma : 
R : 0,0256
b) Como nos interessa a probabilidade de no máximo dois aparelhos terem defeito, queremos, na realidade, calcular as seguintes probabilidades:
E, no fim, a soma destas probabilidades será o resultado pretendido.
Logo o resultado será:
p( Existirem no máximo 2 aparelhos defeituosos) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536=0,9728
R : 0,9728
Para além destas duas distribuições, existem muitas outras como sendo a Exponencial ou a Poisson, a Geométrica ou a Uniforme... Se tiver interesse em conhecer as suas funções distribuição ou densidade propomos-lhe várias visitas:
http://www.stats.gla.ac.uk/steps/glossary/probability_distributions.html
http://surfstat.newcastle.edu.au/surfstat/main/glossary/glossary.html
A nossa página " Para ir mais além "
